4 × cos(x) × cos(x) - 3 = 0 を解き、一般解を答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   記号を読み解く。 2 つのコサインの因子のあいだにあるのは掛け算の記号であって変数ではない。したがって式は $4\cos x\cdot\cos x=4\cos^{2}x$ であり、方程式は

   $4\cos^{2}x-3=0.$

   となる。繰り返しの因子を 2 乗として書き直すことが、この方程式を $\cos x$ についての普通の 2 次方程式に変える手順である。

2. 2

   $\cos^{2}x$ を孤立させる。 $3$ を足して $4$ で割ると

   $\cos^{2}x=\frac34.$

   となる。値 $\tfrac34$ は $[0,1]$ に入っているので実数解が存在する。右辺が $1$ を超えていれば解はなかった。

3. 3

   符号を両方つけて平方根をとる。 $\cos^{2}x=\tfrac34$ から

   $\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$

   が得られる。$\tfrac{\sqrt3}{2}$ の基準角は $\tfrac{\pi}{6}$（$30^{\circ}$）である。負の分枝を捨てると解の半分が失われる——きわめてよくあるつまずきである。

4. 4

   1 周ぶんの基本角を並べる。 $\cos x=+\tfrac{\sqrt3}{2}$ については $x=\tfrac{\pi}{6}$ と $x=\tfrac{11\pi}{6}$。$\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ については $x=\tfrac{5\pi}{6}$ と $x=\tfrac{7\pi}{6}$。周期 $2\pi$ あたり 4 つの解があり、どちらの軸についても対称に並ぶ。

5. 5

   2 つの簡潔な系統にまとめる。 4 つの角は $\pm\tfrac{\pi}{6}$ と $\pm\tfrac{\pi}{6}+\pi$ なので、一般解は

   $x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   となる。確認すると $4\cos^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)-3=4\cdot\tfrac34-3=0$ ✓ であり、$\tfrac{5\pi}{6}$ と $\tfrac{7\pi}{6}$ でも同じ ✓。周期が $2\pi$ ではなく $\pi$ になるのは、$x$ が $\pi$ 増えても $\cos^{2}$ の値が変わらないからである。