a について解け：120² = 150² + a² − 2 × 150 × a × cos(30°)。

Step-by-step solution

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   未知数が「向こう側」に来ている余弦定理だと見抜く。 $c^{2}=b^{2}+a^{2}-2ba\cos C$では未知数$a$が2乗と1次の両方で現れるので、これは一度代入すれば終わりではなく$a$についての2次方程式である。正の解が2つまで出ることを想定しておく——与えられたデータを共有する2つの異なる三角形が存在する、いわゆる二辺夾角でない場合である。

2. 2

   既知の値を代入する。 $120^{2}=14400$、$150^{2}=22500$、$\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$なので：

   $14400=22500+a^{2}-2(150)a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=22500+a^{2}-150\sqrt3\,a$

   係数の2が$\cos 30^{\circ}$の分母と約分され、きれいな係数$150\sqrt3$が残る。

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   標準的な2次方程式の形に整理する。

   $a^{2}-150\sqrt3\,a+8100=0$

   ここで$22500-14400=8100$を使った。

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   解の公式を適用して根号を整理する。

   $\left(150\sqrt3\right)^{2}=67500,\qquad 67500-4(8100)=35100,\qquad \sqrt{35100}=30\sqrt{39}$

   したがって

   $a=\frac{150\sqrt3\pm 30\sqrt{39}}{2}=75\sqrt3\pm 15\sqrt{39}$

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   慎重に小数に直す。 $\sqrt3=1.7320508$、$\sqrt{39}=6.2449980$として：

   $75\sqrt3=129.9038,\qquad 15\sqrt{39}=93.6750$

   $a=129.9038+93.6750=223.5788\qquad\text{または}\qquad a=129.9038-93.6750=36.2288$

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   両方をもとの式で検算する。 $a=223.5788$では$22500+49987.5-2(150)(223.5788)(0.866025)=14400$ ✓。$a=36.2288$では$22500+1312.5-9412.5=14400$ ✓。どちらも正なので、2つとも幾何的に成り立つ三角形であり、両方を答えなければならない。