6 × sin(x) の 4 乗 + sin(x) の 2 乗 - 6 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   置き換えて 2 次方程式を浮かび上がらせる。 $\sin x$ の偶数乗しか現れないので、$u=\sin^2x$ とおくと

   $6u^2+u-6=0$

   となる。この置き換えは同時に、2 次方程式自身は知りえない制約も記録している。$u=\sin^2x$ である以上 $0\le u\le 1$ でなければならない。

2. 2

   2 次方程式を解く。 $\Delta=1^2-4(6)(-6)=1+144=145$（平方数ではない）なので

   $u=\frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$

   となる。

3. 3

   条件を満たさない解を捨てる。 $\sqrt{145}\approx 12.0416$ なので

   $u_1=\frac{-1+\sqrt{145}}{12}\approx 0.9201329,\qquad u_2=\frac{-1-\sqrt{145}}{12}\approx -1.0868$

   となる。$0\le u\le 1$ を満たすのは $u_1$ だけである。$u_2$ は負であり、2 乗が負になることはないので棄却される。（もし $u_1$ が $1$ を超えていれば、方程式には解がまったく存在しなかった。）

4. 4

   平方根をとって $\sin x$ を求める。

   $\sin x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{145}-1}{12}}\approx \pm 0.9592356$

   符号は両方とも残さなければならない。$\sin^2 x$ の段階で符号の情報が失われているからである。

5. 5

   一般解を書く。 2 つの符号の選択は、サインの方程式の標準的な系統にまとめられる。

   $x=n\pi\pm\arcsin\!\left(\sqrt{\frac{\sqrt{145}-1}{12}}\right),\qquad n\in\mathbb{Z}$

   数値では $\arcsin(0.9592356)\approx 1.2843$ ラジアン $\approx 73.58^{\circ}$ なので、解は $x\approx n\pi\pm 1.2843$ である。

6. 6

   検証する。 $u=0.9201329$ とすると $6u^2+u-6=6(0.8466445)+0.9201329-6=5.0798671+0.9201329-6=0$ ✓。また $x=1.2843$ とすると $\sin x=0.9592356$ となり、要求どおり $\sin^2x=u$ が成り立つ。