arcsin(0.375) の厳密な値を求めるか、存在しない理由を説明し、ラジアンと度での小数値を示せ。

Step-by-step solution

1. 1

   小数を分数に直す。 $0.375 = \tfrac{3}{8}$ なので、問題は

   $\sin\theta = \frac{3}{8}, \qquad \theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{\pi}{2}\right]$

   を満たす $\theta$ を求めることになる。範囲を制限するからこそ $\arcsin$ は関数になる。この正弦をもつ角は無限にあるが、その区間に入るものはちょうど 1 つだけである。

2. 2

   作図できる正弦の一覧と照合する。 学校で扱う、正弦が閉じた形をもつ角は $0,\ \tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{\pi}{2}$ であり、その正弦は $0,\ \tfrac12,\ \tfrac{\sqrt2}{2},\ \tfrac{\sqrt3}{2},\ 1$ である。$\tfrac38 = 0.375$ はそのどれでもなく、$0$ と $\tfrac12$ の間、しかも $\tfrac12$ に近いところにある。

3. 3

   ここでの「厳密な値」が何を意味するかを結論づける。 有理数の根号で書ける式でこの角に等しいものは存在しないので、厳密な値は記号そのものである：

   $\arcsin\!\left(\frac{3}{8}\right)$

   これは技術の敗北ではない。$\ln 2$ や $\sqrt2$ がすでに厳密な答えであるのと同じ意味である。

4. 4

   小数値を計算する。 マクローリン展開 $\arcsin u = u + \tfrac{u^3}{6} + \tfrac{3u^5}{40} + \tfrac{15u^7}{336} + \cdots$ に $u = 0.375$ を入れると $0.375 + 0.008789 + 0.000556 + 0.000047 + 0.000004 = 0.384396$ となり、さらに項を進めると

   $\arcsin(0.375) \approx 0.3843968\ \text{rad}$

   に落ち着く。

5. 5

   度に直して確かめる。 $\tfrac{180}{\pi}$ を掛けると：

   $0.3843968 \times 57.295780 \approx 22.0243^{\circ}$

   妥当性の確認：$\sin(22.0243^{\circ}) = 0.375000$ であり、$22.0243^{\circ}$ は正弦が $0.5$ に達する $30^{\circ}$ より少し小さく、筋が通っている。