三角形 ABC で (cos B + cos A cos C)/(sin B cos C) = a√3/b が成り立ち、a = 3、c = 2√3 である。sin A を求めよ。

Step-by-step solution

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   三角形の内角の和を使って $\cos B$ を置き換える。 どの三角形でも $A+B+C=\pi$ なので $B=\pi-(A+C)$ であり、

   $\cos B=\cos\!\left(\pi-(A+C)\right)=-\cos(A+C)=-\left(\cos A\cos C-\sin A\sin C\right).$

   3つの角が混ざった三角形の恒等式では、この置き換えが定石の第一手である。

2. 2

   分子を整理して潰す。 $\cos A\cos C$ を足すと、2つの $\cos A\cos C$ が打ち消し合う：

   $\cos B+\cos A\cos C=-\cos A\cos C+\sin A\sin C+\cos A\cos C=\sin A\sin C.$

   したがって左辺は次のようになる。

   $\frac{\sin A\sin C}{\sin B\cos C}=\frac{\sin A}{\sin B}\cdot\tan C.$

3. 3

   正弦定理を使って右辺と対応させる。 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$ より $\dfrac{\sin A}{\sin B}=\dfrac{a}{b}$ なので、条件は

   $\frac{a}{b}\tan C=\frac{a\sqrt3}{b}.$

   と書ける。辺の長さは正なので因子 $\dfrac{a}{b}$ は約分でき、

   $\tan C=\sqrt3\ \Longrightarrow\ C=\frac{\pi}{3}=60^{\circ},$

   となる。これが $0<C<\pi$ かつ $\cos C\ne 0$ を満たす唯一の解である。与えられた恒等式が決めるのは $C$ だけで、辺の値はここまで一度も使っていないことに注目したい。

4. 4

   既知の組 $(c,C)$ に正弦定理を使う。

   $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}\ \Longrightarrow\ \sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{4\sqrt3}=\frac{3}{4}.$

5. 5

   三角形が実際に存在し、一意に決まることを確かめる。 $a=3<c=2\sqrt3\approx 3.464$ なので角 $A$ は $C=60^{\circ}$ より小さく、$A=\arcsin\tfrac34\approx 48.59^{\circ}$ となる。鈍角側の $131.41^{\circ}$ はあり得ない（$C$ の分が残らなくなる）。すると $B\approx 71.41^{\circ}$、$b=\dfrac{c\sin B}{\sin C}\approx 3.7913=\dfrac{3+\sqrt{21}}{2}$ となり、これらをもとの式に戻すと両辺とも $1.37055$ になる。