cos(2π/9) × cos(4π/9) × cos(8π/9) を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   角が 2 倍ずつ並んでいることに気づく。 どの角も 1 つ前の 2 倍である：$\tfrac{2\pi}{9}\to\tfrac{4\pi}{9}\to\tfrac{8\pi}{9}$。そこで $x=\tfrac{2\pi}{9}$ とおけば、積はちょうど $\cos x\cos2x\cos4x$ という形になる。この連鎖は正弦の倍角公式で次々に畳み込める。

2. 2

   畳み込みの恒等式を思い出す。 $\sin x$ を掛けて $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ を繰り返し使うと

   $\cos x\cos2x\cos4x=\frac{\sin8x}{8\sin x}$

   が得られる。2 倍にするたびに因数 $2$ が 1 つ生じるので、余弦 3 つで分母の $8$ ができる。

3. 3

   $x=\tfrac{2\pi}{9}$ を代入する。 このとき $8x=\tfrac{16\pi}{9}$ であり、

   $\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}\cos\frac{8\pi}{9}=\frac{\sin\frac{16\pi}{9}}{8\sin\frac{2\pi}{9}}$

   となる。

4. 4

   分子の正弦を簡単にする。 $\tfrac{16\pi}{9}=2\pi-\tfrac{2\pi}{9}$ であり、$\sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta$ なので：

   $\sin\frac{16\pi}{9}=-\sin\frac{2\pi}{9}$

   これがすべてを約分させる手である。分子が、分母にすでにある正弦の符号違いになる。

5. 5

   約分して仕上げる。

   $\frac{-\sin\frac{2\pi}{9}}{8\sin\frac{2\pi}{9}}=-\frac{1}{8}$

   $\sin\tfrac{2\pi}{9}\neq0$ なので、この約分は正当である。

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   数値で検算し、符号も確かめる。 直接計算すると $0.766044\times0.173648\times(-0.939693)=-0.125$ となり、$-\tfrac18$ と $10^{-15}$ の精度で一致する ✓。符号が合うのは、$\tfrac{8\pi}{9}$ が $\pi$ をわずかに下回る第 2 象限の角で余弦が負になり、残る 2 つの因数は正だからである。