arctan(15/66.67) を度とラジアンの両方で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   逆正接が何を返すのかを押さえる。 $\arctan t$ は $\tan\theta=t$ かつ $-90^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ を満たす角 $\theta$ である。$\arcsin$ や $\arccos$ と違って定義域はすべての実数なので、入力の範囲を確認する必要はない。応用の場面では、この形——$\arctan\frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$——こそが、直角三角形の 2 辺から鋭角を復元する方法そのものである。

2. 2

   比を 1 つの小数にまとめる。 三角関数に入れる前に割り算を済ませる：

   $\frac{15}{66.67}=0.2249887\ldots\approx0.2250$

   これで問題は $\arctan(0.2250)$ になる。

3. 3

   答えの大きさを予想する。 $\tan0^{\circ}=0$、$\tan 45^{\circ}=1$ なので、正接がわずか $0.225$ なら角は $45^{\circ}$ をかなり下回るはずである。しかも小さい角ではラジアンで $\tan\theta\approx\theta$ となるので、およそ $0.225$ rad $\approx13^{\circ}$ と見込める。この見積もりこそ、電卓を誤った角度モードのまま使ったときにそれを捕まえてくれる。

4. 4

   ラジアンで計算する。

   $\arctan(0.2249887)=0.2213037\ \text{rad}\approx0.2213\ \text{rad}$

   予想どおり、入力の $0.225$ よりわずかに小さい。正の小さな $\theta$ に対して $\tan\theta>\theta$ だからである。

5. 5

   度に直す。 $\dfrac{180}{\pi}$ を掛ける：

   $0.2213037\times\frac{180}{\pi}=12.6798^{\circ}\approx12.68^{\circ}$

6. 6

   逆向きに検算する。 $\tan(12.6798^{\circ})=0.224989$ であり、$\tfrac{15}{66.67}=0.224989$ と小数第 6 位まで一致する ✓。