sin 20° の値を小数第 4 位まで求めよ。

Step-by-step solution

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   その角が特別な角かどうかを確かめる。 初等の課程で厳密値をもつ角は $0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ$ とその反転である。$20^\circ$ はそのどれでもないので、きれいな根号表示は存在しない。近道を見落としているのではなく、電卓が本当に必要なのである。

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   計算する前に答えを挟み込む。 正弦は $[0^\circ,90^\circ]$ 上で増加し、$\sin0^\circ=0$、$\sin30^\circ=0.5$ である。$0^\circ<20^\circ<30^\circ$ なので、値は $0$ と $0.5$ の間になければならない。しかも $20$ は $30$ までの 3 分の 2 の位置にあるので、$0$ より $0.5$ に近いはずである。

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   微小角の近似で見積もりを鋭くする。 ラジアンでは $20^\circ=\tfrac{\pi}{9}=0.349066$ であり、小さい $\theta$ に対して $\sin\theta\approx\theta-\tfrac{\theta^3}{6}=0.349066-0.007089=0.341977$ となる。したがって $0.342$ 程度が見込まれる。

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   小数第 4 位まで計算する。 電卓を度モードにして：

   $\sin20^\circ=0.3420201\ldots\approx0.3420$

   これは級数による見積もりと小数第 4 位まで一致し ✓、予想した $(0,0.5)$ の範囲にも収まっている ✓。

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   定番のモード誤りを防ぐ。 ラジアンモードのまま同じキーを叩くと $\sin(20\ \text{rad})=0.9129$ が返る。まったく別の数である。ステップ 2 の挟み込みがこれを即座に捕まえてくれる。だからこそ、数秒かけて先に見積もる価値がある。

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   厳密な根号表示が存在しない理由に触れる。 $20^\circ$ は $60^\circ$ の 3 分の 1 であり、作図可能な角の三等分は平方根では一般に不可能である。$\sin20^\circ$ は $8t^3-6t+\sqrt3=0$ の根である（$\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$ を $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ に入れ、全体に $-2$ を掛けたもの）。一方、対をなす公式 $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ に $\cos60^\circ=\tfrac12$ を入れると、$\cos20^\circ$ は 3 次方程式 $8t^3-6t-1=0$ の根になる。こちらは有理数係数で有理数体上既約であり、それこそが平方根による表示を排除する根拠である。両方を確かめると、$\cos20^\circ=0.9396926$ に対して $8(0.9396926)^3-6(0.9396926)-1=0.000000$ ✓、$\sin20^\circ=0.3420201$ に対して $8(0.3420201)^3-6(0.3420201)+\sqrt3=0.000000$ ✓ となる。