区間 [−π, π] において不等式 2cos x + √3 ≥ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   余弦を単独にする。 $\sqrt3$ を引き、正の数 $2$ で割っても不等号の向きは変わらない：

   $\cos x\ge-\frac{\sqrt3}{2}.$

   $-\tfrac{\sqrt3}{2}\approx-0.866$ は $[-1,1]$ の内側にあるので、解集合は空でも全体でもない、正真正銘の部分区間になる。

2. 2

   境界の角を求める。 方程式 $\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ の参照角は $\tfrac{\pi}{6}$ であり、余弦が負になるのは第 2・第 3 象限なので、$[-\pi,\pi]$ 上での解は

   $x=\frac{5\pi}{6}\quad\text{および}\quad x=-\frac{5\pi}{6}.$

   余弦は偶関数なので、対称な区間における境界の角はつねに $\pm$ の対で現れる。

3. 3

   境界のどちら側を残すかを決める。 $[-\pi,\pi]$ 上で余弦が最大になるのは中央の $\cos0=1$、最小になるのは両端の $\cos(\pm\pi)=-1$ である。したがって $\cos x\ge-\tfrac{\sqrt3}{2}$ が成り立つのは 2 つの境界角に挟まれた真ん中の帯であって、その外側ではない：

   $-\frac{5\pi}{6}\le x\le\frac{5\pi}{6}.$

4. 4

   端点を含める。 不等号は等号つきであり、$x=\pm\tfrac{5\pi}{6}$ では式の値が $2\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)+\sqrt3=0$ となって $\ge0$ を満たす。よって 2 つの境界角はどちらも解集合に属し、区間は閉区間になる。

5. 5

   境界の両側で確かめる。 $x=2.6180\approx\tfrac{5\pi}{6}$ では $2\cos x+\sqrt3=0$ ✓（含まれる）。すぐ外側の $x=2.7$ では $2\cos(2.7)+\sqrt3=2(-0.9040721)+1.7320508=-0.0760935<0$ ✓（含まれない）。対称性から $x=-2.7$ でも同じことが起こる。中央の $x=0$ では $2+\sqrt3=3.73>0$ ✓。