y = arcsin(√3/2) のとき y を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   逆正弦が何を返すのかを述べる。 $\sin^{-1}(a)$ とは、

   $\sin y=a\qquad\text{and}\qquad -\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}$

   を満たす唯一の角 $y$ である。値域を制限するからこそ逆関数が関数になる。制限が無ければ答えは無限個になってしまう。

2. 2

   入力が定義域に入っているかを確かめる。 $\sin^{-1}$ の定義域は $[-1,1]$ であり、$\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0.8660$ はその内側にあるので、答えは存在する。

3. 3

   特別な角を思い出す。 $30$–$60$–$90$ の三角形（あるいは単位円）から、

   $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$

   である。覚えておく価値があるのは $\sin\frac\pi6=\frac12$、$\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}$、$\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}$ の 3 つで、分母をそろえると分子が増えていく形になっている。

4. 4

   候補が主値の範囲に入ることを確認する。 $0<\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}$ なので $\tfrac\pi3$ は許容され、

   $y=\frac{\pi}{3}=60^{\circ}$

   となる。

5. 5

   意図的に除外されている答えに触れておく。 $\sin\dfrac{2\pi}{3}$ もまた $\dfrac{\sqrt3}{2}$ であり、任意の整数 $k$ に対する $\sin\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k\right)$ もそうである。これらはすべて方程式 $\sin y=\frac{\sqrt3}{2}$ の解だが、$\sin^{-1}$ の値になるのは $\tfrac\pi3$ だけである。「$\sin y=a$ を解く」ことと「$\sin^{-1}a$ を求める」ことの混同が、ここでの定番の誤りである。