恒等式 1/cot²A + 1/(1 + tan²A) = 1/(1 − sin²A) − 1/csc²A を証明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   方針を決める：両辺を別々に正弦と余弦へ帰着させる。 どちらの辺が明らかに簡単ということもないので、一方を他方に変形するのではなく、それぞれを独立に簡単にして結果が一致することを示す。ここに出てくる部品はすべて逆数の関係かピタゴラスの恒等式である。

2. 2

   左辺を簡単にする。 $\cot A=1/\tan A$ なので第 1 項は

   $\frac{1}{\cot^{2}A}=\tan^{2}A.$

   である。第 2 項は、ピタゴラスの恒等式 $1+\tan^{2}A=\sec^{2}A$ より

   $\frac{1}{1+\tan^{2}A}=\frac{1}{\sec^{2}A}=\cos^{2}A.$

   となる。したがって左辺は $\tan^{2}A+\cos^{2}A$ である。

3. 3

   右辺を簡単にする。 $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$ より $1-\sin^{2}A=\cos^{2}A$ なので

   $\frac{1}{1-\sin^{2}A}=\frac{1}{\cos^{2}A}=\sec^{2}A,$

   であり、また $\csc A=1/\sin A$ なので

   $\frac{1}{\csc^{2}A}=\sin^{2}A.$

   である。したがって右辺は $\sec^{2}A-\sin^{2}A$ である。

4. 4

   2 つの形を橋渡しする。 右辺に $\sec^{2}A=1+\tan^{2}A$ を適用すると

   $\sec^{2}A-\sin^{2}A=1+\tan^{2}A-\sin^{2}A=\tan^{2}A+\bigl(1-\sin^{2}A\bigr)=\tan^{2}A+\cos^{2}A.$

   となる。これは左辺とぴったり一致するので、恒等式は成り立つ。

5. 5

   成り立つ範囲を述べ、値で試す。 この恒等式は $\cot A$、$\tan A$、$\csc A$ が定義され、かつ $\cot A\ne0$ であること、すなわち $A$ が $\pi/2$ の整数倍でないことを要する。$A=\pi/3$ では、左辺は $\tan^{2}=3$ と $\cos^{2}=1/4$ の和で $3.25$、右辺は $\sec^{2}=4$ から $\sin^{2}=3/4$ を引いて $3.25$ である ✓。