y = sin(x + π/4 + a) が奇関数になるのは a がどのような値のときか。

Step-by-step solution

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   奇関数の条件を書く。 すべての $x$ について $f(-x)=-f(x)$ が成り立つとき、関数は奇関数である。定数をまとめて 1 つの位相 $c=\tfrac{\pi}{4}+a$ とすると関数は $f(x)=\sin(x+c)$ となり、問題は「どんな $c$ に対して $\sin(x+c)$ は奇関数か」に帰着する。

2. 2

   正弦の奇関数性を保つ位相を探す。 素の $\sin x$ は奇関数であり、$\pi$ の整数倍を加えてもそれは保たれる。

   $\sin(x+k\pi)=(-1)^{k}\sin x,$

   これは $\pm\sin x$ であり、やはり奇関数である。それ以外の位相ではコサインが混ざる。$\sin(x+c)=\sin x\cos c+\cos x\sin c$ であり、$\cos x\sin c$ の部分は偶関数なので、$\sin c=0$ でない限り対称性が壊れる。

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   条件が必要でもあることを確かめる。 $x=0$ で試すと、奇関数は $f(0)=-f(0)$ を満たさねばならず、よって $f(0)=0$ である。ここでは $f(0)=\sin c$ なので $\sin c=0$、したがって

   $c=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   $x=0$ という 1 点だけで条件が完全に絞り込め、ステップ 2 によって十分でもあることが分かる。

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   $a$ について解く。 $c=\tfrac{\pi}{4}+a=k\pi$ より

   $a=k\pi-\frac{\pi}{4},\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   最小の正の値は $k=1$ のときの $a=\tfrac{3\pi}{4}$ である。$k=0$ とすると $a=-\tfrac{\pi}{4}$ となり、関数は素の $\sin x$ に戻る。

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   数値で検証する。 $a=\tfrac{3\pi}{4}$ のとき関数は $\sin(x+\pi)=-\sin x$ である。$x=0.7$ で奇関数性を確かめると $f(0.7)+f(-0.7)=2\times10^{-16}\approx0$ ✓。対照的に $a=0$ では $\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)$ となり、そこでは $f(0)=\tfrac{\sqrt2}{2}\ne0$ なので奇関数でも偶関数でもない。