Math Glossary

कोटैंजेंट स्पर्शज्या का व्युत्क्रम है: cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)। प्रांत से वे कोण बाहर रहते हैं जहाँ sin = 0 होता है।

कोसेकैंट ज्या का व्युत्क्रम है: csc(θ) = 1/sin(θ)। इसके प्रांत से वे कोण बाहर रहते हैं जहाँ sin = 0 होता है (अर्थात् π के गुणज)।

p-मान वह प्रायिकता है कि शून्य परिकल्पना के सत्य होने की कल्पना करते हुए कम-से-कम आपके प्रतिदर्श जितने चरम आँकड़े देखे जाएँ। छोटा p, H₀ के विरुद्ध प्रमाण दर्शाता है।

सेकेंट कोज्या का व्युत्क्रम है: sec(θ) = 1/cos(θ)। प्रांत से वे कोण बाहर रहते हैं जहाँ cos = 0 होता है (π/2 + kπ)।

t-वितरण सामान्य वितरण की तरह घंटी के आकार का होता है लेकिन इसकी पुच्छें भारी होती हैं। इसका उपयोग माध्यों के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए तब किया जाता है जब प्रतिदर्श का आकार छोटा हो या σ अज्ञात हो।

z-स्कोर मापता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन ऊपर या नीचे है। z = (x − μ) / σ। विभिन्न बंटनों के बीच मानों की तुलना करने और प्रायिकता ज्ञात करने के लिए उपयोग होता है।

अंतर्निहित अवकलन dy/dx ज्ञात करता है जब y किसी समीकरण (जैसे x²+y²=25) द्वारा अंतर्निहित रूप से परिभाषित हो, बिना पहले y के लिए हल किए।

अनुचित समाकल में या तो कोई सीमा अनंत होती है या समाकल्य अंतराल में कहीं अपरिबद्ध होता है। इसका मान उचित समाकलों की सीमा के रूप में निकाला जाता है।

किसी सदिश क्षेत्र का अपसरण प्रत्येक बिंदु पर शुद्ध "बहिर्प्रवाह" को मापता है। ∇·F > 0 का अर्थ स्रोत है; < 0 का अर्थ अवशोषक। तरल गतिकी एवं विद्युतचुंबकत्व का आधार।

कोई अनुक्रम या श्रेणी अभिसरित होती है यदि वह किसी परिमित सीमा की ओर अग्रसर हो। अन्यथा वह अपसरित होती है। अभिसरण परीक्षण यह निर्धारित करते हैं कि कौन-सा प्रकरण लागू होता है।

अवकलज किसी फलन की तात्क्षणिक परिवर्तन दर मापता है — समतुल्य रूप से, यह किसी एक बिंदु पर फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखा का ढाल है।

असमिका <, ≤, > या ≥ का उपयोग करके दो व्यंजकों की तुलना करती है। हल संख्या रेखा पर अंतराल या अंतरालों के संघ बनाते हैं।

आयतन किसी ठोस द्वारा घेरे गए त्रिविमीय स्थान को मापता है। मात्रक घन में होते हैं (cm³, m³)। प्रत्येक आकृति का अपना सूत्र होता है; कलन इसे समाकलन के माध्यम से सामान्यीकृत करता है।

आयाम किसी तरंग का उसके केंद्र से अधिकतम विचलन है। y = A sin(Bx) के लिए आयाम |A| होता है। अधिक आयाम = ऊँची तरंग।

आवर्त वह क्षैतिज लंबाई है जिस पर कोई त्रिकोणमितीय फलन एक पूर्ण चक्र पूरा करता है। sin और cos का आवर्त 2π है; tan का आवर्त π है।

आंशिक अवकलज मापता है कि किसी बहुचर फलन में केवल एक चर बदलने पर, शेष को स्थिर रखते हुए, फलन कैसे बदलता है। संकेतन: ∂f/∂x।

इकाई वृत्त मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या 1 का वृत्त है। यह त्रिकोणमितीय फलनों को केवल न्यून कोणों के लिए नहीं, बल्कि सभी वास्तविक कोणों के लिए परिभाषित करता है।

कलन में इष्टतमीकरण का अर्थ है किसी फलन के उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान ज्ञात करना। क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए f'(x) = 0 रखें, फिर उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ की जाँच करें।

करणी एक मूल को निरूपित करती है: √a वर्गमूल है, ∛a घनमूल है, और ⁿ√a n-वाँ मूल है। करणियाँ घातांकन की प्रतिलोम होती हैं।

किसी सदिश क्षेत्र का कर्ल स्थानीय घूर्णन को मापता है। ∇×F एक ऐसा सदिश देता है जो घूर्णन अक्ष की दिशा में होता है और जिसका परिमाण घूर्णन दर के समानुपाती होता है।

कला विस्थापन किसी आवर्ती फलन का क्षैतिज स्थानांतरण है। y = sin(Bx + C) के लिए कला विस्थापन -C/B होता है (धनात्मक = दाएँ, ऋणात्मक = बाएँ)।

काई-वर्ग परीक्षण श्रेणीगत आँकड़ों में प्रेक्षित बारंबारताओं की तुलना अपेक्षित बारंबारताओं से करता है। χ² = Σ(O−E)²/E। सुसंगति परीक्षण तथा स्वतंत्रता परीक्षण के लिए प्रयुक्त।

कोज्या नियम पाइथागोरस प्रमेय को किसी भी त्रिभुज तक सामान्यीकृत करता है: c² = a² + b² − 2ab cos(C)। SSS या SAS त्रिभुज समस्याओं के लिए उपयोग करें।

कोण एक उभयनिष्ठ अंत्यबिंदु (शीर्ष) साझा करने वाली दो किरणों के बीच के घूर्णन को मापता है। सामान्य इकाइयाँ: अंश (पूर्ण वृत्त = 360°) और रेडियन (पूर्ण वृत्त = 2π)।

क्षेत्रफल किसी द्विविमीय क्षेत्र के आकार को मापता है — कि वह कितनी सतह घेरता है। इकाइयाँ वर्ग होती हैं (cm², m²)। प्रत्येक आकृति का अपना क्षेत्रफल सूत्र होता है।

किसी व्यंजक का गुणनखंडन करना अर्थात उसे सरल व्यंजकों के गुणनफल के रूप में पुनः लिखना, जैसे x²+5x+6 = (x+2)(x+3)। यह विस्तार की प्रतिलोम क्रिया है।

गुणांक किसी बीजीय व्यंजक में चर के आगे लगा संख्यात्मक गुणनखंड होता है। 5x² में, गुणांक 5 है।

घातांक यह दर्शाता है कि किसी आधार को स्वयं से कितनी बार गुणा किया जाता है। aⁿ में n घातांक है और a आधार है। उदाहरण: 2³ = 2·2·2 = 8।

चतुर्थक किसी आँकड़ा-समुच्चय को चार बराबर भागों में बाँटते हैं। Q1 (25वाँ शतमक), Q2 (माध्यिका, 50वाँ), Q3 (75वाँ)। अंतरचतुर्थक परास Q3-Q1 प्रकीर्णन की एक प्रबल माप है।

ज्या नियम किसी भी त्रिभुज की भुजाओं को उनके सम्मुख कोणों की ज्याओं से जोड़ता है: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)।

ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या तीन मूल त्रिकोणमितीय फलन हैं, जिन्हें समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है और इकाई वृत्त के माध्यम से सभी वास्तविक संख्याओं तक विस्तारित किया जाता है।

टेलर श्रेणी किसी चिकने फलन को, एक ही बिंदु पर उसके अवकलजों से बने अनंत बहुपद के रूप में सन्निकट करती है। इसे काटने पर बहुपद सन्निकटन प्राप्त होते हैं।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ ऐसे समीकरण हैं जो त्रिकोणमितीय फलनों को परस्पर जोड़ते हैं और सभी मान्य कोणों के लिए सत्य रहते हैं, जैसे sin²θ + cos²θ = 1। व्यंजकों को सरल करने तथा समीकरण हल करने के लिए प्रयुक्त।

त्रिपद ठीक तीन पदों वाला बहुपद होता है, जैसे x² + 5x + 6। गुणनखंडन के अभ्यास में सबसे अधिक मिलने वाला प्रकार।

त्रिभुज तीन भुजाओं वाला बहुभुज है जिसके अंतःकोणों का योग सदा 180° होता है। इसका वर्गीकरण भुजाओं (समबाहु, समद्विबाहु, विषमबाहु) या कोणों (न्यूनकोण, समकोण, अधिककोण) के अनुसार किया जाता है।

द्विघात समीकरण एक चर वाला द्वितीय घात बहुपद समीकरण है, जिसे ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) के रूप में लिखा जाता है। इसका ग्राफ एक परवलय होता है।

द्विपद ठीक दो पदों वाला बहुपद होता है, जैसे x + 3 या 2x² - 5। एकपद (1 पद) और त्रिपद (3 पद) से भिन्न।

निरपेक्ष मान |x| संख्या-रेखा पर x से 0 तक की दूरी है — सदैव अऋणात्मक। |3| = 3, |-3| = 3।

निर्देशांक प्रणाली अंतरिक्ष के बिंदुओं को संख्याएँ निर्दिष्ट करती है। द्विविमा में कार्तीय (x, y) सबसे सामान्य है; वृत्तीय सममिति के लिए ध्रुवीय (r, θ) का उपयोग होता है।

परिकल्पना परीक्षण प्रतिदर्श आँकड़ों का उपयोग करके किसी समष्टि के बारे में दो प्रतिस्पर्धी दावों में से एक का निर्णय करता है। हम एक परीक्षण सांख्यिकी की गणना करते हैं और यदि p-मान छोटा हो तो शून्य परिकल्पना को अस्वीकृत कर देते हैं।

परिमाप किसी द्विविमीय आकृति के चारों ओर की कुल लंबाई है। वृत्त के लिए परिमाप को परिधि कहा जाता है: C = 2πr।

परिमेय व्यंजक एक ऐसा भिन्न है जिसका अंश और हर बहुपद होते हैं, जैसे (x²-1)/(x+2)। गुणनखंडन करके और उभयनिष्ठ गुणनखंडों को निरस्त करके सरल किया जाता है।

पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि किसी भी समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है: a² + b² = c²।

पृष्ठीय क्षेत्रफल किसी त्रिविमीय ठोस के सभी फलकों का कुल क्षेत्रफल है। यह आयतन से भिन्न है: पृष्ठीय क्षेत्रफल वर्ग मात्रकों (cm²) में और आयतन घन मात्रकों में होता है।

प्रसरण किसी डेटासमुच्चय के अपने माध्य के चारों ओर के फैलाव को मापता है। यह विचलनों के वर्गों का औसत है। मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल होता है।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (arcsin, arccos, arctan) किसी त्रिकोणमितीय अनुपात से कोण पुनः प्राप्त करते हैं। arcsin(y) = x का अर्थ है sin(x) = y, जिसमें निर्गत परिसर सीमित होता है।

बहुचर फलन f(x,y,...) की प्रवणता आंशिक अवकलजों का सदिश है। यह सर्वाधिक तीव्र आरोहण की दिशा में संकेत करती है और प्रवणता अवरोहण का आधार है।

प्रसामान्य (गाउसीय) बंटन एक घंटी के आकार का प्रायिकता वक्र है, जो अपने माध्य μ और मानक विचलन σ द्वारा पूर्णतः वर्णित होता है। यह सांख्यिकी के अधिकांश भाग की नींव है।

किसी फलन का प्रांत सभी मान्य निवेशों का समुच्चय है; परिसर सभी संभव निर्गतों का समुच्चय है। दोनों मिलकर पूरी तरह वर्णन करते हैं कि फलन किसको किससे प्रतिचित्रित करता है।

फलन एक नियम है जो प्रत्येक इनपुट को ठीक एक आउटपुट निर्दिष्ट करता है। संकेतन: f(x) = ... का अर्थ है "जब x इनपुट हो तब f का आउटपुट"।

बहुपद पदों का योग है, जिसमें प्रत्येक पद एक अचर का चर के अऋणात्मक पूर्णांक घात से गुणनफल होता है। उदाहरण: 3x²+2x-7, x³-4x+1।

किसी बहुपद की घात उसके चर पर सबसे बड़ा घातांक होती है। घात 1 = रैखिक, 2 = द्विघात, 3 = त्रिघात, 4 = चतुर्घात।

बहुभुज सीधी भुजाओं वाली एक बंद 2D आकृति है। सामान्य प्रकार: त्रिभुज (3), चतुर्भुज (4), पंचभुज (5), षट्भुज (6), इत्यादि।

बहुलक वह मान है जो किसी डेटासमुच्चय में सर्वाधिक बार आता है। किसी डेटासमुच्चय का एक बहुलक, अनेक बहुलक, या कोई बहुलक नहीं भी हो सकता है। श्रेणीबद्ध आँकड़ों के लिए उपयोगी।

बेज़ प्रमेय सप्रतिबंध प्रायिकताओं को उलट देता है: P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)। यह बेज़ी अनुमान, चिकित्सकीय परीक्षण और मशीन लर्निंग का आधार है।

माध्य — जिसे समांतर औसत भी कहते हैं — मानों के समुच्चय का योग, मानों की संख्या से विभाजित। यह किसी आँकड़ा-समुच्चय का सबसे आम एकल-संख्या सारांश है।

माध्यमान प्रमेय कहती है कि [a,b] पर किसी चिकने फलन के लिए एक बिंदु c होता है जहाँ f′(c) औसत परिवर्तन दर (f(b)−f(a))/(b−a) के बराबर होता है।

माध्यिका किसी क्रमित आँकड़ा-समुच्चय का मध्य मान है। सम संख्या वाले आँकड़ों के लिए यह दो मध्य मानों का औसत होती है। यह बाह्यमानों के प्रति प्रबल होती है।

मानक विचलन मापता है कि कोई आँकड़ा-समुच्चय अपने माध्य के चारों ओर कितना फैला है। छोटा मानक विचलन मानों के सघन होने और बड़ा बिखरे होने को दर्शाता है।

रीमान योग किसी वक्र के नीचे के क्षेत्रफल का सन्निकटन क्षेत्र को आयतों में बाँटकर करता है। ज्यों-ज्यों आयत पतले होते हैं, यह योग निश्चित समाकल की ओर अभिसरण करता है।

रेडियन वह कोण है जो उस चाप द्वारा अंतरित होता है जिसकी लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है। एक पूर्ण वृत्त 2π रेडियन (≈ 6.28) होता है। कलन के लिए आवश्यक मात्रक।

रैखिक समाश्रयण आँकड़ों पर एक सरल रेखा फिट करता है: y = mx + b। यह रेखा बिंदुओं तक की ऊर्ध्वाधर दूरियों के वर्गों के योग को न्यूनतम करती है (न्यूनतम वर्ग)।

रैखिक समीकरण वह समीकरण है जिसका आलेख एक सरल रेखा होता है। एक चर में: ax + b = 0। दो चरों में: ax + by = c।

ल'हॉपिटल का नियम 0/0 या ∞/∞ रूप की अनिर्धार्य सीमाओं को, सीमा को अवकलजों के अनुपात की सीमा से प्रतिस्थापित करके हल करता है।

लघुगणक घातांकन की प्रतिलोम संक्रिया है: log_a(b) = c का अर्थ है a^c = b। यह इस प्रश्न का उत्तर देता है कि "a की कौन-सी घात b देती है?"

विश्वास अंतराल किसी समष्टि प्राचल के लिए संभाव्य मानों की एक परास देता है, साथ में एक घोषित विश्वास स्तर (जैसे 95%) जो प्रक्रिया की दीर्घकालिक विश्वसनीयता का वर्णन करता है।

वृत्त किसी समतल में एक केंद्र से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का समुच्चय है। यह नियत दूरी त्रिज्या है; केंद्र से होकर जाने वाली सबसे लंबी जीवा व्यास (2× त्रिज्या) है।

k-वाँ शतमक वह मान है जिसके नीचे k% प्रेक्षण आते हैं। 50वाँ शतमक माध्यिका है; 25वाँ और 75वाँ चतुर्थक हैं।

श्रेणी किसी अनुक्रम का योग है — परिमित या अनंत। कोई अनंत श्रेणी किसी परिमित संख्या में जुड़ती है या नहीं, यह अभिसरण परीक्षणों से तय होता है।

सदिश एक ऐसी राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। संकेतन: ⟨x, y⟩ या ⟨x, y, z⟩। सदिश घटकवार जुड़ते हैं और भौतिकी, ग्राफ़िक्स तथा मशीन लर्निंग का आधार हैं।

संबंधित दरों की समस्याएँ किसी समीकरण से जुड़े दो या अधिक चरों की परिवर्तन दरों को संबंधित करती हैं। समय के सापेक्ष अंतर्निहित अवकलन का उपयोग करें।

दो आकृतियाँ समरूप होती हैं यदि एक दूसरी की मापित (स्केल की हुई) प्रतिलिपि हो — आकार समान, आकृति का माप संभवतः भिन्न। सभी संगत कोण बराबर होते हैं; सभी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।

समलंब चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसमें कम से कम एक जोड़ी समांतर भुजाएँ (आधार कहलाती हैं) होती हैं। क्षेत्रफल = (1/2)(b₁+b₂)h।

समाकलन योग का संतत समकक्ष है — सबसे आम रूप से किसी वक्र के नीचे का क्षेत्रफल। निश्चित समाकल संख्याएँ देते हैं; अनिश्चित समाकल प्रतिअवकलज फलन देते हैं।

समांतर चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर होते हैं। आयत, समचतुर्भुज और वर्ग इसके विशेष प्रकार हैं।

दो आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं यदि एक को दृढ़ गति (स्थानांतरण, घूर्णन, परावर्तन) द्वारा दूसरी में रूपांतरित किया जा सके — समान आकार और समान माप।

सहसंबंध दो चरों के बीच रैखिक संबंध की प्रबलता और दिशा को मापता है। पियर्सन गुणांक r [-1, 1] में होता है: 1 = पूर्ण धनात्मक, -1 = पूर्ण ऋणात्मक, 0 = कोई रैखिक संबंध नहीं।

कोई फलन किसी बिंदु पर सतत होता है यदि उस बिंदु पर उसका मान वहाँ निवेश के पास पहुँचने पर उसके मानों की सीमा के बराबर हो — कोई उछाल, छिद्र या अनंतस्पर्शी न हो।

सीमा उस मान का वर्णन करती है जिसकी ओर कोई फलन तब अग्रसर होता है जब उसका इनपुट किसी लक्ष्य के मनमाने रूप से निकट पहुँचता है — आवश्यक नहीं कि उस तक पहुँचे। सीमाएँ अवकलज और समाकल दोनों का आधार हैं।

स्पर्श रेखा किसी वक्र को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करती है और उस बिंदु पर वक्र की दिशा से मेल खाती है। वृत्तों के लिए, स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।