टेलर श्रेणी

किसी फलन $f$ की किसी बिंदु $a$ के परितः टेलर श्रेणी है

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

जब $a = 0$ हो, तो इस श्रेणी को मैकलॉरिन श्रेणी कहा जाता है।

प्रसिद्ध प्रसार:

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ ($|x| < 1$ के लिए)।

श्रेणी को घात $n$ पर काटने से एक बहुपद सन्निकटन प्राप्त होता है। कैलकुलेटर आंतरिक रूप से त्रिकोणमितीय और घातांकीय फलनों की गणना इसी प्रकार करते हैं, और भौतिकी "लघु कोण" या "अल्प वेग" वाले व्यवहार का सन्निकटन इसी प्रकार करती है। टेलर श्रेणी हर उस स्थान पर अस्तित्व में रहती है जहाँ फलन अनंत बार अवकलनीय हो और शेष पद शून्य की ओर अभिसरित हो।