ज्या नियम

ज्या नियम किसी भी त्रिभुज के लिए लागू होता है (केवल समकोण त्रिभुजों के लिए नहीं):

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

जहाँ $a, b, c$ कोणों $A, B, C$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाइयाँ हैं, और $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।

उपयोग की स्थितियाँ:

1. AAS या ASA: दो कोण और एक भुजा दिए होने पर, शेष भुजाएँ निकालें।
2. SSA (अस्पष्ट स्थिति): दो भुजाएँ और एक असम्मिलित कोण दिया होने पर। शून्य, एक या दो वैध त्रिभुज दे सकता है — हमेशा जाँच करें।

कोज्या नियम $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ SSS और SAS स्थितियों के लिए सहयोगी प्रमेय है। दोनों मिलकर किसी भी त्रिभुज को पूर्णतः हल कर देते हैं: कोई भी तीन स्वतंत्र जानकारियाँ दिए होने पर, आप सभी छह (3 भुजाएँ + 3 कोण) निकाल सकते हैं।

उपपत्ति: किसी एक शीर्ष से लंब डालें; एक ओर से नापने पर इसकी लंबाई $b \sin A$ और दूसरी ओर से नापने पर $a \sin B$ होती है। इन्हें बराबर रखने पर $a/\sin A = b/\sin B$ प्राप्त होता है।