माध्यमान प्रमेय

माध्यमान प्रमेय (MVT) कलन का एक आधारभूत परिणाम है। यदि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर संतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, तो कम से कम एक बिंदु $c \in (a, b)$ ऐसा होता है कि

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

ज्यामितीय रूप से: $c$ पर स्पर्श रेखा, $(a, f(a))$ और $(b, f(b))$ से होकर जाने वाली छेदक रेखा के समांतर होती है।

अंतर्ज्ञान (गाड़ी चलाने की उपमा): यदि आप 1 घंटे में 60 मील चलते हैं, तो आपकी औसत चाल 60 mph है; MVT यह सुनिश्चित करती है कि किसी क्षण आपकी तात्क्षणिक चाल ठीक 60 mph थी।

MVT इन सबके पीछे का इंजन है:

• वर्धमान/ह्रासमान परीक्षण ($f' > 0 \implies$ वर्धमान)।
• कलन की मूल प्रमेय की उपपत्ति।
• संख्यात्मक विधियों में त्रुटि सीमाएँ (शेषफल सहित टेलर प्रमेय)।
• अवकल समीकरणों के लिए अद्वितीयता प्रमेय।

एक विशेष स्थिति ($f(a) = f(b)$) रोल की प्रमेय है: एक ऐसा $c$ होता है जहाँ $f'(c) = 0$।