अभिसरण

अभिसरण उस स्थिति का वर्णन करता है जब कोई अनुक्रम या श्रेणी किसी परिमित सीमा की ओर अग्रसर होती है।

अनुक्रम: $\{a_n\}$ का $L$ पर अभिसरण होता है यदि प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $N$ विद्यमान हो कि सभी $n > N$ के लिए $|a_n - L| < \varepsilon$ हो।

श्रेणी: यदि $\sum a_n$ के आंशिक योग $S_n$ अभिसरित होते हैं, तो $\sum a_n$ अभिसरित होती है।

मानक परीक्षण:

• n-वाँ पद परीक्षण: $a_n \not\to 0$ → अपसरित।
• गुणोत्तर श्रेणी: $\sum r^n$ का अभिसरण होता है यदि और केवल यदि $|r| < 1$।
• तुलना परीक्षण: किसी ज्ञात श्रेणी द्वारा परिबद्ध करना।
• अनुपात परीक्षण: $\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → अभिसरित।
• समाकल परीक्षण: $\sum a_n$ को $\int_1^\infty f(x) dx$ से जोड़ता है।
• एकांतर श्रेणी परीक्षण: यदि $b_n \to 0$ एकदिष्ट रूप से हो, तो $\sum (-1)^n b_n$ अभिसरित होती है।

निरपेक्ष अभिसरण ($\sum |a_n|$ अभिसरित) सप्रतिबंध अभिसरण से प्रबल है। हरात्मक श्रेणी $\sum 1/n$ अपसरित होती है; $\sum (-1)^n/n$ अभिसरित होती है (एकांतर)।