श्रेणी (अनंत योग)

श्रेणी किसी अनुक्रम के पदों का योग है। परिमित श्रेणी $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ केवल साधारण जोड़ है। अनंत श्रेणी $\sum_{i=1}^\infty a_i$ वह सीमा है जिसकी ओर आंशिक योग $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ तब अग्रसर होते हैं जब $n \to \infty$।

यदि $\lim_{n\to\infty} S_n$ अस्तित्व में हो और परिमित हो, तो श्रेणी अभिसरित होती है; अन्यथा वह अपसरित होती है। प्रसिद्ध उदाहरण:

• गुणोत्तर श्रेणी $\sum r^n$ जब $|r| < 1$ हो तो $\frac{1}{1-r}$ की ओर अभिसरित होती है।
• हरात्मक श्रेणी $\sum \frac{1}{n}$ (धीरे-धीरे) अपसरित होती है।
• बासेल समस्या: $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$।

अभिसरण विभिन्न परीक्षणों से तय होता है: अनुपात परीक्षण, मूल परीक्षण, समाकल परीक्षण, तुलना परीक्षण, क्रमविकल्पी श्रेणी परीक्षण। टेलर श्रेणी फलनों को मनचाहे उच्च घात के बहुपदों द्वारा सन्निकट करती है — यह संख्यात्मक विश्लेषण और भौतिकी के सन्निकटनों का आधार है।