रीमान योग

रीमान योग अंतराल $[a, b]$ पर वक्र $y = f(x)$ के नीचे के क्षेत्रफल का सन्निकटन, अंतराल को $\Delta x = (b-a)/n$ चौड़ाई के $n$ उपअंतरालों में बाँटकर और $n$ आयतों के क्षेत्रफलों को जोड़कर करता है:

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

यहाँ $x_i^*$ $i$-वें उपअंतराल में एक प्रतिदर्श बिंदु है। सामान्य चयन:

• वाम रीमान योग: $x_i^* = a + (i-1)\Delta x$।
• दक्षिण रीमान योग: $x_i^* = a + i \Delta x$।
• मध्यबिंदु नियम: उपअंतराल का मध्यबिंदु (अधिक यथार्थ)।

जब $n \to \infty$ (आयत मनचाहे पतले हो जाते हैं), यदि $f$ समाकलनीय है, तो रीमान योग निश्चित समाकल की ओर अभिसरण करता है:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

समाकल की यह परिभाषा विविक्त योग को संतत क्षेत्रफल से जोड़ती है, और यही समाकल चिह्न $\int$ को योग (sum) के लिए "खिंचा हुआ S" बनाने की प्रेरणा है। रीमान योग सभी संख्यात्मक समाकलन (समलंब नियम, सिम्पसन नियम) का भी आधार हैं।