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geometry

सदिश

सदिश एक ऐसी राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। संकेतन: ⟨x, y⟩ या ⟨x, y, z⟩। सदिश घटकवार जुड़ते हैं और भौतिकी, ग्राफ़िक्स तथा मशीन लर्निंग का आधार हैं।

एक सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, इसके विपरीत एक अदिश में केवल परिमाण होता है।

निर्देशांक: v⃗=⟨x,y⟩\vec{v} = \langle x, y \rangle (2D) या ⟨x,y,z⟩\langle x, y, z \rangle (3D)। परिमाण ∣v⃗∣=x2+y2+⋯|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + \cdots}।

संक्रियाएँ:

  • योग / अंतर: घटकवार।
  • अदिश गुणन: परिमाण को मापित करता है।
  • अदिश गुणनफल (डॉट गुणनफल): u⃗⋅v⃗=∑uivi=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum u_i v_i = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta — संरेखण मापता है, एक अदिश देता है।
  • सदिश गुणनफल (क्रॉस गुणनफल, केवल 3D): u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} — दोनों पर लंबवत, परिमाण ∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta।

सदिश भौतिकी (बल, वेग), ग्राफ़िक्स (स्थितियाँ, अभिलंब), मशीन लर्निंग (विशेषता सदिश, प्रवणताएँ, एम्बेडिंग) और ज्यामिति का वर्णन करते हैं। इन्हें उच्चतर विमाओं और अमूर्त समष्टियों (हिल्बर्ट समष्टि) तक सामान्यीकृत करना आधुनिक गणित के बड़े भाग का आधार है।