कोज्या नियम

कोज्या नियम पाइथागोरस प्रमेय को किसी भी त्रिभुज तक सामान्यीकृत करता है:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

जहाँ $c$ कोण $C$ के सम्मुख भुजा है, और $a, b$ अन्य दो भुजाएँ हैं। सममित रूप से: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$।

विशेष स्थिति: जब $C = 90°$ हो, तब $\cos 90° = 0$, और सूत्र सिमटकर $c^2 = a^2 + b^2$ — पाइथागोरस प्रमेय — बन जाता है।

उपयोग की स्थितियाँ:

• SSS: तीन भुजाएँ दी हों, कोई कोण ज्ञात करें: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
• SAS: दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया हो, तो तीसरी भुजा सीधे ज्ञात करें।

यह ज्या नियम $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ का सहयोगी है। दोनों मिलकर त्रिभुज हल करने की चारों स्थितियों (SSS, SAS, ASA, AAS) को सँभालते हैं — केवल SSA (अस्पष्ट स्थिति) में अतिरिक्त सावधानी आवश्यक है।

कोज्या नियम सदिश विश्लेषण में अदिश गुणनफल का ज्यामितीय उद्गम भी है: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$।