Statistics
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Real statistics questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
Con el 5% de los hombres y el 0.25% de las mujeres daltónicos, y mitad de cada sexo, la probabilidad total es 0.02625, y el teorema de Bayes da P(hombre | daltónico) = 0.025/0.02625 = 20/21 ≈ 0.952.
Un correo que contiene la palabra delatora es spam con probabilidad 7/12 ≈ 58.3%. Recorre paso a paso la probabilidad previa, las dos verosimilitudes y la regla de Bayes.
Las respuestas son 0.219, 0.145 y 0.855. Con n = 8 y p = 0.5 cada resultado pesa 1/256, así que los recuentos 56, 37 y 219 dan las tres probabilidades.
P(X < 4) es aproximadamente 0.022 con n = 10 y p = 0.66. Suma los cuatro términos de X = 0, 1, 2 y 3; cada uno es un coeficiente binomial por 0.66 elevado a k por 0.34 elevado a 10 − k.
P(5) = 0.219, P(X > 5) = 0.145 y P(X ≤ 5) = 0.855. Con p = 0.5 todos los resultados son igual de probables, así que cada respuesta es un número del triángulo de Pascal dividido entre 256.
El chi cuadrado vale exactamente 5.84 con 2 grados de libertad, por debajo del valor crítico 5.991, así que la razón 3:2:1 predicha no se rechaza al nivel de significación 0.05.
Las medias 2.43 y 1.86 difieren en 0.57. Al agrupar SS = 17.71 y 10.86 sobre 12 grados de libertad resulta s = 1.543, así que d = 0.57/1.543 = 0.37.
El tamaño del efecto es d = 1.33, un efecto grande. Se obtiene SS = 351 − 48²/8 = 63, luego s = 3, y se divide la diferencia de medias de 4 puntos entre s, no entre el error estándar.
Que ocurran ambas da 0.73² = 53.29%; que ocurra al menos una da 1 − 0.27² = 92.71%. La palabra «combinada» es ambigua y las dos lecturas se separan por 39 puntos.
El conjunto B tiene sigma 3.29 frente al 2.35 del conjunto A, así que B es más variable. Al coincidir las medias y los tamaños, la suma de desviaciones al cuadrado, 184 contra 94, lo decide todo.
La probabilidad es 0.456. Condicionar a «negra» restringe el espacio muestral al total de 250 de esa fila, así que hay que dividir las 114 familias de dos generaciones de adultos entre 250, no entre 1438.
La probabilidad es 0.535. Condicionar a «generación omitida» convierte el total de esa columna, 99, en el denominador, y la celda blanca-omitida aporta 53, lo que da 53/99 = 0.535.
Los ingresos son la variable explicativa y la felicidad, la variable respuesta. Los porcentajes por fila 12.8/61.4/25.8, 13.3/64.0/22.7 y 13.2/58.8/28.0 son casi idénticos, así que la asociación es débil.
El intervalo de confianza del 95% es (3.94, 13.72). Se recorren el error estándar 41.40/√278 = 2.483, el valor crítico t de 1.969 y el margen de error 4.89.
Las medias son 70.43, 69.70 y 78.54, con desviaciones estándar muestrales de 20.67, 20.17 y 13.80. Dos estudiantes sacaron 0 en las dos primeras columnas, lo que infla sus recorridos hasta 90 y 92.
Para los 21 valores cercanos a 2.4 la media es 2.4405, la mediana 2.44, el rango 0.16 y s = 0.0432. El conjunto es trimodal en 2.40, 2.43 y 2.49: las cinco medidas calculadas.
Los conteos son 63, 15 y 39. El método de barras y estrellas se aplica por separado a cada tipo de artículo, y los resultados se multiplican porque las elecciones de caramelos y de galletas son independientes.
Los siete amigos promedian 2,179.29 dólares, más que la estimación de 2,110 dólares, y Ashley tendría que gastar 1,625 dólares para bajar la media de los ocho de nuevo a 2,110 dólares.
En el grupo bajo las frecuencias de los puntajes 1 a 5 son 3, 5, 4, 2, 1; en el grupo alto son 0, 1, 3, 6, 5. Cada columna debe sumar 15, comprobación que detecta el típico error de contar 1 en vez de 3.
El IQR es 39.46, así que las vallas son -41.17 y 116.67 y el máximo de 248 es un valor atípico. Que la media de 48.00 supere a la mediana de 32.50 también señala datos asimétricos.
Al normalizar sobre el triángulo sale A = 2. Dividiendo la región en x = 1/2 se obtiene P(2X − Y < 1) = 7/12, e integrando sobre el rectángulo de la esquina sale F(1/2, 1/4) = 19/64, mientras que F(1/2, −1) = 0.
Al normalizar se obtiene c = 3. Las marginales son 3x² en (0,1] y (3/2)(1 − y²) en [0,1], y su producto no es la densidad conjunta, así que X e Y no son independientes.
Normalizar sobre la región entre la parábola y = x² y la recta y = 1 da c = 21/4. Las marginales son (21/8)x²(1 − x⁴) en [−1,1] y (7/2)y^(5/2) en [0,1], y las variables no son independientes.
Al promediar los quince pesos se obtienen 77.81 kg antes y 76.20 kg después. Las desviaciones estándar muestrales (dividiendo entre n − 1 = 14) son 15.94 y 16.19 kg.
La media es 2.23 ausencias, la varianza es 2.3571 y P(más de dos ausentes) = 0.52. Conviene usar E(X²) − μ² en lugar de desarrollar cada desviación al cuadrado.
E(X) = 1 y Var(X) = 1/6 para la densidad f(x) = x en (0,1] y 2 − x en [1,2). La simetría da la media al instante; E(X²) = 7/6 entrega después la varianza.
La media es 679.63 dólares, la mediana 689.50 y la moda 699. Los ocho precios suman 5,437, así que una media impresa de 670.63 es un error de transposición de dígitos.
Respuesta: media 31/6 = 5.1667, mediana 5 y moda 5. Se suma y se divide para la media, se ordena primero y se promedian los dos valores centrales para la mediana, y luego se cuentan las repeticiones.
La media es 17/3 = 5.67 y la mediana es 5.5. Cada valor aparece una sola vez, así que este conjunto de datos no tiene moda, un caso que conviene reconocer de forma explícita.
La media es 2,179.29 dólares, por encima de la estimación de 2,110. Para que el promedio de ocho valores baje a 2,110, el importe adicional debe ser 8(2110) − 15,255 = 1,625 dólares.
La media es mayor que la mediana. La mediana queda fija en 49, mientras que la media vale 49 + 22k/N, así que las pocas notas altas de 80 la empujan estrictamente hacia arriba.
La media es menor que la mediana. La mediana vale exactamente 76 sea cual sea el tamaño del grupo, mientras que la media es 76 − 19k/N y por lo tanto se queda por debajo.
La media es menor que la mediana. La mediana queda clavada en 82.5 mientras que la media vale 82.5 − 19k/N, así que las pocas notas bajas de 54 la arrastran por debajo.
Las medias son 47.33 dólares para el año completo, 43.00 dólares de enero a junio y 50.25 dólares de abril a noviembre: lo que cambia son los límites de la suma, no la fórmula.
Juega piedra 1/4, papel 1/8 y tijera 5/8. Igualar los tres pagos contra estrategias puras da 5q − r = −5p + 2r = p − 2q = 0, y el valor del juego simétrico es 0.
El intervalo va de −0.48 a 4.48. Con n = 3 el valor crítico t es 4.303 y el error estándar es 1/√3, así que el margen de error resulta muy ancho: 2.48.
Los tiempos son normales con media 58 minutos y desviación estándar 12. Halla el tiempo en el que termina el 90% de los estudiantes usando la z del percentil 90.
La probabilidad es alrededor de 0.3725. El puntaje z es +0.3253, el área de la cola izquierda es 0.62752, y restarla de 1 da la probabilidad de la cola derecha, 0.37248.
La probabilidad es de aproximadamente 0.0785. Al estandarizar se obtiene z = (40.851 − 55)/10 = −1.4149, y el área de la normal estándar a la izquierda de esa z vale 0.078549.
Yendo solo hacia el este o hacia el sur, toda ruta consta de 3 movimientos al este y 3 al sur en algún orden, así que el conteo es el número de formas de colocar los 3 movimientos al este entre 6, es decir 20.
El resultado es t = −2.83. Se convierten las sumas en una media de 6 y s = 3, se divide entre el error estándar 3/√8 = 1.0607 y se conserva el signo negativo.
Con N = 8, suma X = 48 y suma X² = 351, la media es 6, s = 3 y t = 3.771 con 7 gl (p = 0.007). Se rechaza la nula al .05 y al .01, y la d de Cohen es 1.33.
Eta cuadrada es 43.14/86.57 = 0.498, unos 0.50. Construye SS total y SS entre con las sumas de X y X² de cada grupo, y termina con F(2, 18) = 8.94, p = 0.002.
Respuesta: p vale aproximadamente 9.96 × 10⁻³². Convierte el estadístico chi-cuadrado en una puntuación z de 11.72 y usa la cola normal de dos lados para obtener la probabilidad exacta.
El IMC medio bajó 0.86 en 15 participantes; la prueba t pareada da t = 2.363 con 14 gl y p = 0.033, así que la reducción es significativa al 5%. Desarrollo completo.
Sigma vale aproximadamente 2.35, a partir de una suma de desviaciones al cuadrado de 94 repartida entre 17 valores. Como la media es exactamente 12, cada desviación es un número entero y no se cuela ningún redondeo.
La probabilidad es 15796/34220 = 46.16%. Por intercambiabilidad, las 3 cartas sacadas después de una mano inicial que nadie miró se comportan como 3 cartas sacadas del mazo completo de 60.
Respuesta: P(ocurren los cinco) = 0.2⁵ = 0.00032, alrededor del 0.032 por ciento, y el número esperado de los que ocurren es np = 5 × 0.2 = 1 por la fórmula de la media binomial.
Para sucesos independientes, usa el complementario 1 - (0.8)(0.7)(0.5) = 0.72 para al menos un impacto, y suma los tres productos mutuamente excluyentes de un solo impacto para exactamente uno.
La probabilidad es 3/28, un 10.7%. Cuenta los C(3,2) = 3 casos favorables frente a los C(8,2) = 28 pares posibles, o multiplica 3/8 por 2/7 paso a paso.
Respuesta: 791/792 = 0.99874. Se sacan 5 bolas de 5 rojas y 7 azules; basta restar la única selección de puras rojas de las C(12,5) = 792 muestras equiprobables.
La respuesta es 923/924, alrededor del 99.89%. De las 924 selecciones posibles de 6 bolas, solo una no incluye ninguna azul, así que la regla del complemento da el resultado en una línea.
Al sacar 5 cartas de 60 con 5 marcadas A y 23 marcadas B, la probabilidad de al menos una de cada una es 1748230/5461512 = 32.01%. Resuelto con inclusión-exclusión.
La respuesta es 13395/34220, alrededor del 39.14%. La regla del complemento convierte tres casos en uno solo: 1 − C(51,3)/C(60,3), donde C(51,3) cuenta las extracciones sin ninguna carta marcada.
La probabilidad es 1 − (5/6)⁸, alrededor de 0.7674. «Al menos uno» es el complemento de «ninguno», y la probabilidad de evitar el 6 ocho veces seguidas es (5/6)⁸.
La probabilidad es 887/924 = 0.96. Contar «al menos 2» de forma directa exige cinco casos, así que se usa el complemento: 0 rojas o 1 roja suman solo 37 de las 924 extracciones.
La probabilidad es 1295/1296, aproximadamente 0.99923. El complementario de «como máximo tres» es «los cuatro», un único resultado con probabilidad (1/6)⁴ = 1/1296.
La probabilidad es 4/52 = 1/13, alrededor de 0.0769, es decir 7.69%. Cuenta los cuatro reyes frente a 52 cartas equiprobables y confírmalo con la razón 4:48 entre casos favorables y desfavorables.
Es un caso binomial con n = 5 y p = 1/3: C(5,1)(1/3)(2/3)⁴ = 5 × 16/243 = 80/243, alrededor de 0.329.
Se usa el conteo hipergeométrico C(3,k)C(12,5−k)/C(15,5). Exactamente dos defectuosos da 660/3003 = 20/91, y como solo existen tres defectuosos, «al menos dos» suma las 66 extracciones con tres defectuosos y llega a 22/91.
La probabilidad es 30/44 = 15/22 ≈ 0.6818, es decir, alrededor del 68.18%. Divide los casos favorables entre los casos totales y luego simplifica la fracción por el factor común 2.
La probabilidad es 1/6 ≈ 0.1667, alrededor del 16.67%. Un dado equilibrado tiene seis resultados igualmente probables y exactamente uno de ellos es un 6, así que la razón es un caso favorable entre seis.
b = 3 significa que al menos dos de las cinco extracciones muestran un 3, así que resta a 1 los términos binomiales de cero treses y de un tres: 1 - 32/243 - 80/243 = 131/243.
Fija el número 5 como uno de los elegidos y luego escoge los otros dos por encima de él (C(5,2)=10) o por debajo de él (C(4,2)=6), sobre los C(10,3)=120 tríos equiprobables.
Para (10, 2.9), (20, 4.0) y (30, 4.9) el ajuste es y = −0.001x² + 0.14x + 1.6 y R² = 1: tres puntos caen exactamente sobre una parábola, así que todos los residuos son cero.
Las bisagras de Tukey dan Q1 = 27 y Q3 = 39; al excluir la mediana salen 26.5 y 40.5. Un ejemplo resuelto con 25 edades que muestra exactamente por qué difieren las dos convenciones.
La desviación estándar muestral es aproximadamente 0.249, a partir de una media de 5.7417 y una suma de cuadrados de 0.3099. Se explica por qué el único valor alto, 6.19, aporta casi toda la dispersión.
El séptimo presupuesto tiene que ser de 19,400 dólares. Multiplique la media objetivo por 7 para obtener el total necesario de 129,500 dólares y reste los 110,100 dólares ya cotizados.
La solución es a = −0.0025, b = 0.325, c = 2.9. Restar ecuaciones consecutivas elimina c y deja 30a + b = 0.25 y 50a + b = 0.2, de donde 20a = −0.05.
La fórmula despejada es m = x − zd. Primero se multiplican ambos miembros por la desviación estándar y después se aísla m; una z positiva indica que el valor está por encima de la media.
La desviación estándar muestral es s ≈ 0.2309 y la poblacional σ ≈ 0.1886. La media 2.7667 es periódica, así que conserva decimales de sobra antes de elevar al cuadrado las desviaciones.
La desviación estándar poblacional es 1.72 y la muestral 1.92. Media 5.2 y suma de cuadrados 14.8: lo que decide el resultado es el divisor, n o n − 1.
La sigma poblacional vale 0.0125 y la s muestral 0.0132, a partir de la media 4.25 y una suma de cuadrados de apenas 0.0014. Las comas de los datos originales son separadores decimales, no de lista.
La desviación estándar muestral es s ≈ 0.005568 y la poblacional σ ≈ 0.004546. La media vale exactamente 0.651 y las desviaciones son −0.006, +0.005 y +0.001.
Las desviaciones estándar muestrales son 11.81 y 12.30 puntos porcentuales, con medias 24.96 y 23.71. La media inicial impresa de 24.99 es incorrecta: los quince valores promedian 24.96.
El error estándar vale 1.414, así que ninguna de las opciones ofrecidas es correcta. SS = 60 − 100/5 = 40 da s = 3.162, y al dividir entre √5 queda √2.
El error estándar es 1.581. Calcula SS = 46 − 8²/4 = 30, divide entre n − 1 = 3 para obtener s = 3.162 y después divide ese valor entre √4 = 2.
El método de las bisagras de Tukey mantiene la mediana en las dos mitades, así que cada mitad tiene 13 valores y los cuartiles son sus séptimos valores: 27 y 36, no el 26 y 39 del método exclusivo.
El valor p ronda 0.0357. La cola superior más allá de z = 2.1 contiene 0.0179 del área, y una prueba bilateral la duplica para contar también la cola simétrica por debajo de −2.1.
Significa que el 95 % de los intervalos construidos de esta forma capturan la media verdadera. El intervalo de 14 a 17 contiene μ o no la contiene; el nivel describe el método, no ese intervalo concreto.
z = (x − media)/s da −2.133 para el cliente más joven y 1.580 para el mayor. La asimetría entre ambas puntuaciones z es, en sí misma, indicio de sesgo a la izquierda en esta muestra.