Halla la ecuación de regresión cuadrática para los puntos (10, 2.9), (20, 4.0) y (30, 4.9), y calcula el coeficiente de determinación R cuadrado. Muestra la deducción.

Step-by-step solution

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   Date cuenta primero de que no hace falta maquinaria de mínimos cuadrados. Una cuadrática tiene tres parámetros libres, $a$, $b$ y $c$, y hay exactamente tres puntos. Tres puntos con valores de $x$ distintos determinan una única parábola, así que el ajuste por mínimos cuadrados es la parábola interpoladora: la mínima suma posible de residuos al cuadrado es $0$, y se alcanza. Por eso todo el problema se reduce a resolver un sistema lineal $3\times3$.

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   Sustituye cada punto en $y=ax^2+bx+c$.

   $100a+10b+c=2.9\qquad(1)$

   $400a+20b+c=4.0\qquad(2)$

   $900a+30b+c=4.9\qquad(3)$

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   Elimina $c$ restando ecuaciones consecutivas. Restar elimina $c$ de inmediato porque su coeficiente es el mismo en las tres:

   $(2)-(1):\quad300a+10b=1.1\;\Longrightarrow\;30a+b=0.11\qquad(A)$

   $(3)-(2):\quad500a+10b=0.9\;\Longrightarrow\;50a+b=0.09\qquad(B)$

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   Resta una vez más para hallar $a$ y luego sustituye hacia atrás.

   $(B)-(A):\quad20a=-0.02\;\Longrightarrow\;a=-0.001$

   $\text{de }(A):\;30(-0.001)+b=0.11\;\Longrightarrow\;b=0.14$

   $\text{de }(1):\;-0.1+1.4+c=2.9\;\Longrightarrow\;c=1.6$

   La ecuación de regresión es

   $y=-0.001x^2+0.14x+1.6$

   La doble resta es la segunda diferencia de los datos ($0.9-1.1=-0.2$ por cada paso de $10$), y por eso $a$ resultó negativo: los incrementos se van reduciendo, así que la curva se dobla hacia abajo.

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   Calcula los valores ajustados y la suma de cuadrados de los residuos.

   $\hat y(10)=-0.1+1.4+1.6=2.9,\quad \hat y(20)=-0.4+2.8+1.6=4.0,\quad \hat y(30)=-0.9+4.2+1.6=4.9$

   Cada valor ajustado coincide con su valor observado, así que

   $SS_{\text{res}}=\sum(y_i-\hat y_i)^2=0$

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   Termina con $R^2$ — y verifica que el denominador no sea cero. Con $\bar y=\frac{2.9+4.0+4.9}{3}=3.9333$,

   $SS_{\text{tot}}=\sum(y_i-\bar y)^2=(-1.0333)^2+(0.0667)^2+(0.9667)^2=2.0067\neq0$

   de modo que $R^2$ está bien definido y

   $R^2=1-\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}=1-\frac{0}{2.0067}=1$

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   Lee el resultado con el escepticismo adecuado. Aquí $R^2=1$ es una certeza estructural, no una prueba de que el modelo cuadrático sea bueno. Tres puntos cualesquiera, por ruidosos que sean, dan $R^2=1$ con un ajuste cuadrático, igual que dos puntos cualesquiera dan $R^2=1$ con una recta. Para aprender algo sobre la calidad del modelo hacen falta más datos que parámetros — con $n=3$ y $3$ parámetros quedan cero grados de libertad residuales, y el $R^2$ ajustado no está definido.