Las facturas mensuales de agua son 40, 42, 40, 38, 48, 50, 58, 62, 56, 46, 44 y 44 dólares, de enero a diciembre. Usando notación sigma, halla la factura media del año completo, la de los seis primeros meses y la de abril a noviembre.

Step-by-step solution

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   Escribe la plantilla general. La media sobre un bloque de términos es

   $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=a}^{b} x_i, \qquad n = b - a + 1$

   Los tres apartados usan esta misma expresión; lo único que cambia son los límites $a$, $b$ — y por lo tanto $n$. La cantidad de términos siempre hay que recalcularla a partir de los límites, nunca reutilizarla del apartado anterior.

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   (a) Año completo: $i$ de 1 a 12.

   $\bar{x} = \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} x_i = \frac{40+42+40+38+48+50+58+62+56+46+44+44}{12} = \frac{568}{12}$

   $= 47.3333\ldots = \$47.33$

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   (b) Primeros seis meses: $i$ de 1 a 6.

   $\bar{x} = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6} x_i = \frac{40+42+40+38+48+50}{6} = \frac{258}{6} = 43 = \$43.00$

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   (c) De abril a noviembre: $i$ de 4 a 11. Abril es $x_4$ y noviembre es $x_{11}$, así que $n = 11 - 4 + 1 = 8$ — ocho meses, no siete. Equivocarse en uno al contar aquí es el error clásico:

   $\bar{x} = \frac{1}{8}\sum_{i=4}^{11} x_i = \frac{38+48+50+58+62+56+46+44}{8} = \frac{402}{8} = 50.25 = \$50.25$

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   Contrasta los tres totales entre sí. Los seis primeros meses suman $258$ y los meses $4$–$11$ suman $402$; el año completo son $568$. Prueba de coherencia: los meses $1$–$3$ suman $40+42+40 = 122$ y el mes $12$ es $44$, de modo que $122 + 402 + 44 = 568$ ✓ — los tres bloques reparten el año exactamente.

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   Interpreta el patrón. El tramo cálido (de abril a noviembre) promedia \50.25$, bastante por encima tanto del promedio anual de$$47.33$como del primer semestre, cargado de meses de invierno, con$$43.00$, lo que encaja con unas facturas que alcanzan su máximo en julio y agosto.