El 5% de los hombres y el 0.25% de las mujeres son daltónicos, y hombres y mujeres forman cada uno la mitad de la población. Se elige una persona al azar. (1) ¿Cuál es la probabilidad de que sea daltónica? (2) Dado que es daltónica, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

Step-by-step solution

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   Fija la notación y las probabilidades dadas. Sea $M$ = hombre, $W$ = mujer, $B$ = daltónico. Los datos son

   $P(M)=P(W)=0.5,\qquad P(B\mid M)=0.05,\qquad P(B\mid W)=0.0025$

   Fíjate en que $0.25\%=0.0025$, no $0.025$: un desliz de un factor diez aquí cambia las dos respuestas.

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   (1) Aplica la ley de la probabilidad total. $M$ y $W$ forman una partición de la población, así que

   $P(B)=P(M)P(B\mid M)+P(W)P(B\mid W)$

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   Evalúa el apartado (1).

   $P(B)=0.5(0.05)+0.5(0.0025)=0.025+0.00125=0.02625$

   Así que alrededor del $2.6\%$ de la población es daltónica, un valor que queda sensatamente entre la tasa masculina del $5\%$ y la femenina del $0.25\%$.

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   (2) Aplica el teorema de Bayes. La pregunta invierte el condicionamiento:

   $P(M\mid B)=\frac{P(M)P(B\mid M)}{P(B)}=\frac{0.025}{0.02625}$

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   Evalúa el apartado (2). Multiplicando numerador y denominador por $10000$ y simplificando,

   $\frac{250}{262.5}=\frac{2000}{2100}=\frac{20}{21}\approx 0.9524$

   $\boxed{P(B)=0.02625,\qquad P(M\mid B)=\tfrac{20}{21}\approx 0.952}$

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   Comprueba que la inversión tiene sentido. Aunque solo la mitad de la población es masculina, el $95\%$ de las personas daltónicas son hombres, porque la tasa masculina es $20$ veces la femenina. Confirmando con el complementario: $P(W\mid B)=\tfrac{0.00125}{0.02625}=\tfrac{1}{21}$, y $\tfrac{20}{21}+\tfrac{1}{21}=1$ ✓.