Sea (X, Y) con densidad conjunta f(x, y) = c x² y en la región x² ≤ y ≤ 1, y 0 en el resto. Halla c, las dos densidades marginales y decide si X e Y son independientes.

Step-by-step solution

1. 1

   Describe el soporte antes de integrar. La condición $x^{2}\le y\le 1$ exige $x^{2}\le 1$, es decir $-1\le x\le 1$: la región es el área comprendida entre la parábola $y=x^{2}$ y la recta horizontal $y=1$. Pasar por alto ese rango implícito de $x$ es el primer error habitual.

2. 2

   Normaliza, integrando primero en y.

   $\int_{-1}^{1}\!\!\int_{x^{2}}^{1}cx^{2}y\,dy\,dx=\int_{-1}^{1}cx^{2}\cdot\frac{1-x^{4}}{2}\,dx=\frac{c}{2}\int_{-1}^{1}\left(x^{2}-x^{6}\right)dx$

   Los dos integrandos son pares, así que

   $\frac{c}{2}\left(\frac23-\frac27\right)=\frac{c}{2}\cdot\frac{8}{21}=\frac{4c}{21}=1\quad\Longrightarrow\quad c=\frac{21}{4}$

3. 3

   Halla la densidad marginal de X. Para cada $x\in[-1,1]$ integra $y$ desde $x^{2}$ hasta $1$:

   $f_X(x)=\int_{x^{2}}^{1}\frac{21}{4}x^{2}y\,dy=\frac{21}{4}x^{2}\cdot\frac{1-x^{4}}{2}=\frac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right),\qquad -1\le x\le 1$

4. 4

   Halla la densidad marginal de Y. Para cada $y\in[0,1]$ la condición $x^{2}\le y$ significa $-\sqrt y\le x\le\sqrt y$:

   $f_Y(y)=\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\frac{21}{4}x^{2}y\,dx=\frac{21}{4}y\cdot\frac{2y^{3/2}}{3}=\frac{7}{2}y^{5/2},\qquad 0\le y\le 1$

5. 5

   Decide sobre la independencia. El soporte está limitado por una parábola y no por un rectángulo — los valores posibles de $X$ se estrechan a medida que $Y$ disminuye —, de modo que las variables no pueden ser independientes. Confirmándolo con las fórmulas:

   $f_X(x)f_Y(y)=\frac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right)\cdot\frac72y^{5/2}\neq\frac{21}{4}x^{2}y=f(x,y)$

   $\boxed{c=\tfrac{21}{4};\ f_X(x)=\tfrac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right),\ f_Y(y)=\tfrac72y^{5/2};\ \text{no son independientes}}$

6. 6

   Comprueba que las dos marginales integran 1. $\int_{-1}^{1}\tfrac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right)dx=\tfrac{21}{8}\cdot 2\left(\tfrac13-\tfrac17\right)=\tfrac{21}{4}\cdot\tfrac{4}{21}=1$ ✓ y $\int_{0}^{1}\tfrac72y^{5/2}dy=\tfrac72\cdot\tfrac{2}{7}=1$ ✓.