Para la muestra con puntuaciones 1, 2, 3, halla el intervalo de confianza del 95 por ciento en torno a la media muestral.

Step-by-step solution

1. 1

   Calcular primero las sumas. $n = 3$, $\sum X = 6$, $\sum X^2 = 1 + 4 + 9 = 14$. A partir de ellas:

   $\bar{X} = \frac{6}{3} = 2, \qquad SS = 14 - \frac{6^2}{3} = 14 - 12 = 2$

2. 2

   Obtener $s$ y el error estándar. Se divide $SS$ entre $n-1 = 2$:

   $s^2 = \frac{2}{2} = 1, \quad s = 1, \quad s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0.57735$

   La división entre $\sqrt{n}$ es imprescindible: omitirla es justo lo que produce el distractor más ancho de la lista.

3. 3

   Usar $t$, no $z$, y acertar con los grados de libertad. Con $n = 3$ los grados de libertad son $df = 2$, y el valor crítico bilateral al $95\%$ es

   $t_{0.025,\,2} = 4.3027$

   Es muchísimo mayor que $z = 1.96$; con solo dos grados de libertad, la distribución $t$ tiene colas muy pesadas.

4. 4

   Construir el intervalo.

   $\bar{X} \pm t\,s_{\bar{X}} = 2 \pm 4.3027 \times 0.57735 = 2 \pm 2.4841$

   $LL = -0.4841, \qquad UL = 4.4841$

   Así que el intervalo va aproximadamente de $-0.48$ a $4.48$.

5. 5

   Comparar con las opciones ofrecidas. Las alternativas de $-2.30$ a $6.30$, de $-0.43$ a $3.43$ y de $1.20$ a $2.80$ fallan todas. En particular, la de $-2.30$ a $6.30$ es $2 \pm 4.3027 \times 1$: el mismo valor $t$ aplicado a $s$ en lugar de a $s_{\bar{X}}$, es decir, con el $\sqrt{3}$ olvidado. Como ninguna coincide con $(-0.48,\ 4.48)$, la respuesta correcta es «ninguna de las otras alternativas es correcta».

6. 6

   Interpretar la anchura. Que un intervalo se extienda desde por debajo de cero hasta casi $4.5$ alrededor de una media de $2$ es el precio honesto de tener $n = 3$: con tres observaciones sencillamente no se puede localizar una media con precisión. Verificación: $4.3027 \times 0.57735 = 2.4841$, y $2 - 2.4841 = -0.4841$, $2 + 2.4841 = 4.4841$ ✓.