Una bolsa contiene 3 bolas rojas y 5 bolas blancas. Se extraen dos bolas al azar a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

Step-by-step solution

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   Decide si el orden importa. Las dos bolas se extraen a la vez, así que una extracción es un par no ordenado de bolas. Contar pares no ordenados con combinaciones mantiene coherentes el numerador y el denominador; obtendrías la misma respuesta contando pares ordenados, siempre que lo hagas en los dos lados de la fracción.

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   Cuenta todos los resultados igualmente probables. La bolsa contiene $3+5=8$ bolas y todo par de bolas distintas es igual de probable, así que el espacio muestral tiene

   $\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28$

   elementos.

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   Cuenta los casos favorables. Que las dos bolas sean rojas significa elegir $2$ de las $3$ bolas rojas:

   $\binom{3}{2}=3$

   Las bolas blancas no intervienen más que engordando el denominador.

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   Divide para obtener la probabilidad.

   $P(\text{ambas rojas})=\frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}}=\frac{3}{28}\approx 0.107$

   $\boxed{\dfrac{3}{28}}$

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   Confirma con el método secuencial (regla del producto). Extrae una bola cada vez. La primera es roja con probabilidad $\tfrac{3}{8}$; dado eso, sólo quedan $2$ bolas rojas entre $7$, así que la segunda es roja con probabilidad $\tfrac{2}{7}$:

   $\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$

   Que coincidan es una buena comprobación de que la extracción se trató sin reemplazo. Con reemplazo la respuesta sería en cambio $\left(\tfrac{3}{8}\right)^2=\tfrac{9}{64}$, bastante mayor.