En una clase de matemáticas, la mitad de los estudiantes obtuvo 40 en una prueba de rendimiento. Con excepción de unos pocos estudiantes que obtuvieron 80, el resto obtuvo 58. ¿Qué afirmación sobre la distribución es verdadera: la media es igual a la mediana, la media es menor que la moda, la media es menor que la mediana o la media es mayor que la mediana?

Step-by-step solution

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   Fijar notación en lugar de razonar por intuición. Sea $N$ el tamaño de la clase (par), de modo que $\tfrac{N}{2}$ estudiantes obtuvieron $40$, $k$ estudiantes obtuvieron $80$ con $k$ pequeño y $k \ge 1$, y los restantes $\tfrac{N}{2} - k$ obtuvieron $58$. Todo lo que sigue se deduce solo de estos conteos, así que la conclusión no puede depender de cómo se interprete «unos pocos».

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   Ubicar la mediana con exactitud. Ordenando de menor a mayor, las posiciones $1$ a $\tfrac{N}{2}$ contienen todas el valor $40$; de la posición $\tfrac{N}{2}+1$ en adelante están los $58$ y luego los $80$. Para $N$ par la mediana promedia las posiciones $\tfrac{N}{2}$ y $\tfrac{N}{2}+1$:

   $\text{mediana} = \frac{40 + 58}{2} = 49$

   Esto no depende de $k$ — un punto clave, porque significa que solo la media puede moverse.

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   Calcular la media en forma cerrada.

   $\text{media} = \frac{40\cdot\tfrac{N}{2} + 58\left(\tfrac{N}{2} - k\right) + 80k}{N} = \frac{49N + 22k}{N} = 49 + \frac{22k}{N}$

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   Comparar. Como $k \ge 1$, el término $\tfrac{22k}{N}$ es estrictamente positivo, así que

   $\text{media} = 49 + \frac{22k}{N} > 49 = \text{mediana}$

   La distribución es asimétrica a la derecha: un grupo pequeño situado muy por encima del grueso arrastra la media más allá de la mediana, mientras deja la mediana fija. La opción D es la correcta.

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   Descartar las demás opciones. A es falsa porque la media supera estrictamente a $49$. C invierte la desigualdad. B falla porque la moda es $40$ (la mitad de la clase) mientras que la media está por encima de $49$, así que la media es mayor que la moda, y no menor.

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   Comprobar con números concretos. Con $N = 20$ y $k = 3$: diez notas de $40$, tres de $80$ y siete de $58$. Media $= \tfrac{400 + 240 + 406}{20} = 52.3$, mediana $= 49$, moda $= 40$. Con $N = 40$ y $k = 5$: media $= 51.75$, mediana $= 49$. Los dos casos coinciden con la fórmula $49 + \tfrac{22k}{N}$.