Hallar P(X < 40.851) donde X sigue una distribución normal de media 55 y desviación estándar 10.

Step-by-step solution

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   Estandarizar el valor a una puntuación $z$. La puntuación $z$ mide a cuántas desviaciones estándar de la media queda el valor:

   $z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{40.851-55}{10}=\frac{-14.149}{10}=-1.4149$

   El signo negativo dice que $40.851$ está por debajo de la media, así que la probabilidad debe salir menor que $0.5$ — una comprobación inmediata de la respuesta final.

2. 2

   Traducir la pregunta a un área bajo la normal estándar. Como estandarizar conserva las probabilidades,

   $P(X<40.851)=P(Z<-1.4149)=\Phi(-1.4149)$

   donde $\Phi$ es la función de distribución acumulada de la normal estándar.

3. 3

   Evaluar la probabilidad acumulada. Usando la función error, $\Phi(z)=\tfrac12\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$:

   $\Phi(-1.4149)=0.078549$

   Con una tabla impresa habría que interpolar entre $\Phi(-1.41)=0.0793$ y $\Phi(-1.42)=0.0778$, lo que da $0.0793-0.49(0.0015)=0.07857$ — cerca del valor exacto, y la diferencia se debe al redondeo de la tabla.

4. 4

   Enunciar la respuesta.

   $P(X<40.851)\approx 0.0785\quad\text{(alrededor del }7.85\%\text{)}$

5. 5

   Revisar que el resultado sea plausible. Una $z$ de $-1.41$ queda justo por dentro del clásico corte $-1.645$ del $5\%$ inferior y por fuera del corte $-1.28$ del $10\%$ inferior, así que el área de la cola debe caer entre el $5\%$ y el $10\%$ — y el $7.85\%$ lo cumple $\checkmark$. Por simetría, $P(X>69.149)$ vale exactamente lo mismo.