Un estudio de tráfico predijo que los accidentes ocurrirían en cruces de cuatro vías, en Y y de tres vías en una razón 3:2:1. De 200 accidentes en cruces con igual flujo de tráfico, las frecuencias observadas fueron 116, 60 y 24. Realizar una prueba chi cuadrado de la predicción.

Step-by-step solution

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   Elegir la prueba correcta. Hay una sola variable categórica (el tipo de cruce) y una distribución teórica con la que compararla, no dos variables cruzadas en una tabla. Eso hace que esta sea una prueba chi cuadrado de bondad de ajuste, no una prueba de independencia. La distinción importa porque fija los grados de libertad en $k-1$ y no en $(r-1)(c-1)$.

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   Construir las frecuencias esperadas a partir de la razón. El total es $116+60+24=200$, y $3:2:1$ reparte el conjunto en sextos:

   $E_1=200\cdot\tfrac{3}{6}=100,\qquad E_2=200\cdot\tfrac{2}{6}=66.\overline{6},\qquad E_3=200\cdot\tfrac{1}{6}=33.\overline{3}.$

   Todas las frecuencias esperadas superan $5$, así que la aproximación chi cuadrado es fiable. Conviene conservar las fracciones exactas $\tfrac{200}{3}$ y $\tfrac{100}{3}$ en lugar de los redondeos $66.67$ y $33.33$, o el error de redondeo se filtrará al estadístico.

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   Calcular la aportación de cada casilla a $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$.

   $\frac{(116-100)^2}{100}=\frac{256}{100}=2.56,\qquad \frac{\left(60-\tfrac{200}{3}\right)^2}{\tfrac{200}{3}}=\frac{400/9}{200/3}=\frac{2}{3},\qquad \frac{\left(24-\tfrac{100}{3}\right)^2}{\tfrac{100}{3}}=\frac{784/9}{100/3}=\frac{196}{75}.$

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   Sumarlas. Con el denominador común $75$:

   $\chi^2=\frac{192}{75}+\frac{50}{75}+\frac{196}{75}=\frac{438}{75}=\frac{146}{25}=5.84.$

   El valor es exactamente $5.84$, no un redondeo. Fíjate en que la categoría de tres vías, la de menor frecuencia esperada, es la que más aporta ($2.613$) aunque su desviación bruta sea menor que el exceso de los cruces de cuatro vías: ahí se ve actuar la ponderación $1/E$.

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   Comparar con el valor crítico. Con $k=3$ categorías, $df=k-1=2$. El valor crítico para $\alpha=0.05$ es $\chi^2_{0.05,2}=5.991$. Para $df=2$ el valor $p$ tiene la forma cerrada $p=e^{-\chi^2/2}=e^{-2.92}\approx 0.054$.

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   Enunciar la conclusión. Como $5.84<5.991$ (equivalentemente, $p\approx 0.054>0.05$), no se rechaza la hipótesis nula. Las frecuencias observadas son compatibles con la razón $3:2:1$ predicha, aunque por muy poco, así que valdría la pena reunir una muestra mayor.