Una tabla da la probabilidad de 0, 1, 2, 3, 4 y 5 ausencias diarias como 0.20, 0.18, 0.10, 0.25, 0.25 y 0.02. Halla la media y la varianza del número de ausencias diarias, y la probabilidad de que haya más de dos personas ausentes en un día dado.

Step-by-step solution

1. 1

   Valida primero la tabla. En una distribución de probabilidad, las probabilidades deben sumar $1$:

   $0.20 + 0.18 + 0.10 + 0.25 + 0.25 + 0.02 = 1.00 \;\checkmark$

   Si esto fallara, todos los números posteriores no significarían nada, así que vale la pena dedicarle diez segundos.

2. 2

   Calcula la media como $\sum x P(x)$.

   $\mu = 0(0.20) + 1(0.18) + 2(0.10) + 3(0.25) + 4(0.25) + 5(0.02)$

   $= 0 + 0.18 + 0.20 + 0.75 + 1.00 + 0.10 = 2.23$

   Así que, en un día promedio, hay $2.23$ empleados ausentes.

3. 3

   Calcula $E(X^2)$ y luego usa el atajo para la varianza. Elevando al cuadrado cada $x$ antes de ponderar:

   $E(X^2) = 0(0.20) + 1(0.18) + 4(0.10) + 9(0.25) + 16(0.25) + 25(0.02)$

   $= 0 + 0.18 + 0.40 + 2.25 + 4.00 + 0.50 = 7.33$

4. 4

   Resta el cuadrado de la media. La fórmula de cálculo $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$ evita seis desviaciones al cuadrado por separado:

   $\sigma^2 = 7.33 - (2.23)^2 = 7.33 - 4.9729 = 2.3571$

   $\sigma = \sqrt{2.3571} = 1.5353$

   Fíjate en el orden: hay que elevar al cuadrado la media, no tomar como varianza la media de los cuadrados.

5. 5

   (b) Suma las probabilidades por encima de 2. «Más de dos» significa $x = 3, 4, 5$; excluye $x = 2$:

   $P(X > 2) = 0.25 + 0.25 + 0.02 = 0.52$

6. 6

   Verifica la varianza por el camino largo. Sumando $(x-\mu)^2 P(x)$: $(0-2.23)^2(0.20) = 0.99458$, $(1-2.23)^2(0.18) = 0.272322$, $(2-2.23)^2(0.10) = 0.00529$, $(3-2.23)^2(0.25) = 0.148225$, $(4-2.23)^2(0.25) = 0.783225$, $(5-2.23)^2(0.02) = 0.153458$. Total $= 2.3571$ ✓, coincidiendo exactamente con el atajo. Además, $P(X \le 2) = 0.20+0.18+0.10 = 0.48$ y $0.48 + 0.52 = 1$ ✓.