Una caja contiene 5 bolas rojas y 7 bolas azules. Se extraen cinco bolas al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que se saque al menos una bola azul?

Step-by-step solution

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   Cuenta el espacio muestral. Hay $5+7=12$ bolas y la extracción es sin orden y sin reemplazo, así que el número de selecciones equiprobables es $\binom{12}{5}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5!}=\frac{95040}{120}=792.$

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   Pásate al complemento en lugar de sumar casos. "Al menos una azul" obligaría a sumar los casos con $1,2,3,4,5$ azules: cinco términos separados. Su complemento es el único suceso "cero azules", es decir, que las cinco bolas extraídas sean rojas, así que la regla del complemento $P(\text{al menos una azul})=1-P(\text{ninguna azul})$ convierte cinco cálculos en uno solo.

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   Cuenta las selecciones de puras rojas. Hay exactamente $5$ bolas rojas, así que sacar $5$ rojas significa llevarse todas las rojas: $\binom{5}{5}\binom{7}{0}=1\cdot 1=1.$ Por eso el complemento es tan pequeño aquí: solo hay una manera de no sacar ninguna azul.

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   Arma la probabilidad. $P(\text{ninguna azul})=\frac{1}{792},\qquad P(\text{al menos una azul})=1-\frac{1}{792}=\frac{792-1}{792}=\frac{791}{792}.$

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   Interpreta el número. $\tfrac{791}{792}=0.998737\ldots\approx 99.87\%$. La intuición encaja: las azules superan en número a las rojas y estás tomando casi la mitad de la caja, así que evitarlas por completo es casi imposible.