Una caja contiene 15 artículos, de los cuales 3 son defectuosos y 12 están buenos. Se extraen cinco artículos al azar sin reemplazo. Hallar (1) la probabilidad de que exactamente 2 sean defectuosos y (2) la probabilidad de que al menos 2 sean defectuosos.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantear el espacio muestral como selecciones sin orden. Elegir $5$ de los $15$ artículos sin importar el orden da

   $\binom{15}{5}=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{5!}=3003$

   resultados igualmente probables. Como la extracción es sin reemplazo, lo correcto son las combinaciones y no las potencias.

2. 2

   (1) Contar las selecciones favorables. Exactamente dos defectuosos significa elegir $2$ de los $3$ defectuosos y $3$ de los $12$ artículos buenos:

   $\binom{3}{2}\binom{12}{3}=3\times 220=660$

3. 3

   Dividir y simplificar.

   $P(\text{exactamente }2)=\frac{660}{3003}=\frac{20}{91}\approx 0.2198$

   (Los dos números son divisibles entre $33$.)

4. 4

   (2) Enumerar los casos de «al menos 2». Como la caja contiene solo $3$ defectuosos, «al menos $2$» significa exactamente $2$ o exactamente $3$ — apenas dos casos, así que no hace falta el complemento:

   $\binom{3}{3}\binom{12}{2}=1\times 66=66$

5. 5

   Sumar los dos casos disjuntos.

   $P(\text{al menos }2)=\frac{660+66}{3003}=\frac{726}{3003}=\frac{22}{91}\approx 0.2418$

   $\boxed{P(\text{exactamente }2)=\tfrac{20}{91},\qquad P(\text{al menos }2)=\tfrac{22}{91}}$

6. 6

   Comprobar que la distribución completa suma 1. Los cuatro conteos posibles de defectuosos dan $\binom{3}{0}\binom{12}{5}=792$, $\binom{3}{1}\binom{12}{4}=1485$, $660$ y $66$. Su total es $792+1485+660+66=3003=\binom{15}{5}$ ✓, lo que confirma todos los conteos anteriores.