Una baraja de 60 cartas contiene 9 cartas marcadas. Se extraen tres cartas al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas esté marcada?

Step-by-step solution

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   Usar el complemento, no una separación en casos. «Al menos una marcada» abarca una, dos o tres cartas marcadas. Su complemento es el único suceso «ninguna carta marcada», así que

   $P(\text{al menos una})=1-P(\text{ninguna})$

   Siempre es la vía más barata para una pregunta del tipo al menos una.

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   Contar el total de extracciones de tres cartas. El orden no importa, así que

   $\binom{60}{3}=\frac{60\times59\times58}{3\times2\times1}=34220$

3. 3

   Contar las extracciones sin ninguna carta marcada. Las tres deben salir de las $51$ cartas sin marcar:

   $\binom{51}{3}=\frac{51\times50\times49}{3\times2\times1}=20825$

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   Formar la probabilidad del complemento.

   $P(\text{ninguna})=\frac{20825}{34220}=0.60856\ldots$

   así que

   $P(\text{al menos una})=1-\frac{20825}{34220}=\frac{34220-20825}{34220}=\frac{13395}{34220}$

   Simplificada, es $\tfrac{2679}{6844}$.

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   Pasar a porcentaje.

   $\frac{13395}{34220}=0.391438\ldots\approx39.14\%$

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   Contrastar con una estimación más simple. Cada extracción aislada acierta una carta marcada con probabilidad $\tfrac{9}{60}=15\%$. Tres extracciones casi independientes fallarían las tres con probabilidad aproximada $0.85^3=0.614$, lo que da alrededor del $38.6\%$ — muy cerca del valor exacto $39.14\%$, y la pequeña diferencia proviene de extraer sin reemplazo ✓.

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   Notar por qué la mano inicial no cambia nada. Si ya se hubieran repartido cinco cartas boca abajo y se ignoraran, las tres cartas extraídas después siguen siendo un subconjunto de tres cartas elegido uniformemente al azar entre las $60$ originales, así que el mismo cálculo se aplica sin cambios.