El cincuenta por ciento de los consumidores prefiere comprar electrónica por internet. Se eligen ocho consumidores al azar. Hallar la probabilidad de que el número de los que prefieren comprar por internet sea (a) exactamente cinco, (b) más de cinco y (c) a lo sumo cinco.

Step-by-step solution

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   Plantear el modelo binomial y aprovechar que p = 0.5. Aquí $X\sim B(8,0.5)$ y

   $P(X=k)=\binom{8}{k}(0.5)^{k}(0.5)^{8-k}=\frac{\binom{8}{k}}{2^{8}}=\frac{\binom{8}{k}}{256}.$

   Como $p=0.5$, las potencias de $p$ y de $1-p$ se fusionan en un único $2^{-8}$, de modo que cada probabilidad es simplemente un coeficiente binomial dividido entre $256$.

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   Escribir los coeficientes que hacen falta. La fila $8$ del triángulo de Pascal es

   $1,\ 8,\ 28,\ 56,\ 70,\ 56,\ 28,\ 8,\ 1,$

   cuya suma es $256$, como debe ser.

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   (a) Exactamente cinco.

   $P(5)=\frac{\binom{8}{5}}{256}=\frac{56}{256}=0.21875\approx 0.219.$

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   (b) Más de cinco. «Más de cinco» excluye el propio cinco, así que se suman $k=6,7,8$:

   $P(X>5)=\frac{28+8+1}{256}=\frac{37}{256}=0.14453\approx 0.145.$

   La palabra que marca el límite es decisiva: incluir aquí $k=5$ daría $0.363$ en su lugar.

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   (c) A lo sumo cinco, usando el complemento. «A lo sumo cinco» es todo salvo «más de cinco», así que no hace falta ninguna suma nueva:

   $P(X\le 5)=1-P(X>5)=1-\frac{37}{256}=\frac{219}{256}=0.85547\approx 0.855.$

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   Comprobar el cálculo y la simetría. Las dos respuestas complementarias suman $0.145+0.855=1.000$ ✓. Además, $p=0.5$ hace que la distribución sea simétrica respecto de la media $np=4$, así que $P(X=5)=P(X=3)$ y $P(X>5)=P(X<3)$: una forma rápida de detectar un coeficiente mal copiado.