Sea (X, Y) con densidad conjunta f(x,y) = A(2 − x − y) para 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ x, y 0 en otro caso. (1) Halla A. (2) Halla P(2X − Y < 1). (3) Halla F(1/2, 1/4) y F(1/2, −1).

Step-by-step solution

1. 1

   (1) Imponer la condición de normalización sobre la región correcta. El soporte es el triángulo $0\le y\le x\le 1$, así que se integra $y$ desde $0$ hasta $x$ y luego $x$ desde $0$ hasta $1$:

   $\int_{0}^{x}(2-x-y)\,dy=\left[(2-x)y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x}=2x-x^{2}-\frac{x^{2}}{2}=2x-\frac32x^{2}$

2. 2

   Terminar la normalización.

   $A\int_{0}^{1}\left(2x-\tfrac32x^{2}\right)dx=A\left[x^{2}-\tfrac12x^{3}\right]_{0}^{1}=A\left(1-\tfrac12\right)=\frac{A}{2}=1$

   $\boxed{A=2}$

3. 3

   (2) Dividir la región en la que se cumple el suceso. El suceso $2X-Y<1$ significa $y>2x-1$. Para $x\le\tfrac12$ la cota $2x-1$ es $\le 0$, de modo que sirve toda la franja $0\le y\le x$; para $x>\tfrac12$ solo sirve $2x-1<y\le x$. Por lo tanto

   $P=\int_{0}^{1/2}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx+\int_{1/2}^{1}\!\!\int_{2x-1}^{x}f\,dy\,dx$

   Dividir en $x=\tfrac12$ es toda la dificultad de este apartado.

4. 4

   Evaluar las dos piezas. Con $f=2(2-x-y)$,

   $\int_{0}^{1/2}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx=\frac38,\qquad \int_{1/2}^{1}\!\!\int_{2x-1}^{x}f\,dy\,dx=\frac{5}{24}$

   $P\{2X-Y<1\}=\frac38+\frac{5}{24}=\frac{9+5}{24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\approx 0.583$

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   (3) Calcular F(1/2, 1/4). Por definición, $F(u,v)=P\{X\le u,\ Y\le v\}$, así que se integra la densidad sobre la parte del triángulo con $x\le\tfrac12$ y $y\le\tfrac14$. Esa región vuelve a dividirse, ahora en $x=\tfrac14$:

   $F=\int_{0}^{1/4}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx+\int_{1/4}^{1/2}\!\!\int_{0}^{1/4}f\,dy\,dx=\frac{7}{64}+\frac{3}{16}=\frac{7+12}{64}=\frac{19}{64}$

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   Calcular F(1/2, −1) sin integrar nada. El soporte exige $y\ge 0$, así que el suceso $\{Y\le -1\}$ es imposible:

   $F\left(\tfrac12,-1\right)=0$

   $\boxed{A=2,\quad P\{2X-Y<1\}=\tfrac{7}{12},\quad F\left(\tfrac12,\tfrac14\right)=\tfrac{19}{64},\quad F\left(\tfrac12,-1\right)=0}$

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   Contrastar los tres números. Todos están en $[0,1]$ ✓. Como $F(u,v)$ es no decreciente en cada argumento, $F\left(\tfrac12,\tfrac14\right)=0.297$ debe ser a lo sumo $P\{X\le\tfrac12\}$; al integrar se obtiene $P\{X\le\tfrac12\}=\tfrac38=0.375$ ✓. Y $P\{2X-Y<1\}=0.583$ supera $0.375$, como debe ser, ya que el suceso contiene por completo a $\{X\le\tfrac12\}$.