Resuelve el sistema 100a + 10b + c = 5.9, 400a + 20b + c = 8.4, 900a + 30b + c = 10.4 para a, b y c.

Step-by-step solution

1. 1

   Fíjate en la estructura antes de ponerte a calcular. Los coeficientes son $x^{2}$, $x$, $1$ en $x=10,20,30$, así que este sistema es exactamente «ajusta $y=ax^{2}+bx+c$ por $(10,5.9)$, $(20,8.4)$, $(30,10.4)$». Como $c$ aparece con coeficiente $1$ en las tres ecuaciones, restar parejas consecutivas lo elimina de inmediato.

2. 2

   Resta la ecuación 1 de la ecuación 2.

   $(400-100)a+(20-10)b=8.4-5.9\;\Longrightarrow\;300a+10b=2.5\;\Longrightarrow\;30a+b=0.25.$

3. 3

   Resta la ecuación 2 de la ecuación 3.

   $(900-400)a+(30-20)b=10.4-8.4\;\Longrightarrow\;500a+10b=2\;\Longrightarrow\;50a+b=0.2.$

   Las dos ecuaciones reducidas solo se diferencian en el coeficiente de $a$, así que una resta más termina de despejar $a$.

4. 4

   Despeja $a$, luego $b$ y luego $c$.

   $(50a+b)-(30a+b)=0.2-0.25\;\Longrightarrow\;20a=-0.05\;\Longrightarrow\;a=-0.0025.$

   Sustituyendo en $30a+b=0.25$: $-0.075+b=0.25$, de donde $b=0.325$. Sustituyendo ambos en la primera ecuación original: $-0.25+3.25+c=5.9$, de donde $c=2.9$.

5. 5

   Verifica las tres ecuaciones. Con $a=-0.0025$, $b=0.325$, $c=2.9$: $100(-0.0025)+10(0.325)+2.9=-0.25+3.25+2.9=5.9$ ✓; $400(-0.0025)+20(0.325)+2.9=-1+6.5+2.9=8.4$ ✓; $900(-0.0025)+30(0.325)+2.9=-2.25+9.75+2.9=10.4$ ✓. Resolver el mismo sistema con una rutina de álgebra lineal devuelve también $(-0.0025,\,0.325,\,2.9)$. Que $a$ sea negativo significa que la parábola ajustada abre hacia abajo, coherente con unos datos que suben $2.5$ y después solo $2.0$.