Se extrae una tarjeta de una bolsa con tarjetas numeradas 1, 2, 3, se anota y se devuelve; esto se repite cinco veces. Los cinco números anotados se ordenan de mayor a menor como a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e. Halla la probabilidad de que b = 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Traduce el estadístico de orden a un conteo. Ordenar de mayor a menor hace que $b$ sea el segundo mayor valor. Como $3$ es la tarjeta más grande posible, $b=3$ ocurre exactamente cuando al menos dos de las cinco extracciones muestran un $3$. (Si solo apareciera un $3$, $a$ sería $3$ pero $b$ sería $2$ o $1$.)

   $\{b=3\}=\{X\ge 2\},\qquad X=\#\text{ de }3\text{s}$

2. 2

   Identifica la distribución de X. Las extracciones son con reemplazo, así que $X\sim\text{Binomial}(n=5,\ p=\tfrac13)$.

3. 3

   Usa el complementario — dos términos en vez de cuatro. En lugar de sumar $P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)$, resta los dos casos pequeños:

   $P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

4. 4

   Calcula los dos términos que se restan.

   $P(X=0)=\left(\frac23\right)^{5}=\frac{32}{243},\qquad P(X=1)=\binom51\left(\frac13\right)\left(\frac23\right)^{4}=\frac{80}{243}$

5. 5

   Resta.

   $P(b=3)=1-\frac{32}{243}-\frac{80}{243}=\frac{243-112}{243}=\frac{131}{243}\approx 0.539$

   $\boxed{\dfrac{131}{243}}$

6. 6

   Contrasta con el caso hermano b = 1. Por el argumento simétrico, $b=1$ exige que como máximo una extracción sea $2$ o $3$, lo que da $\left(\tfrac13\right)^5+5\left(\tfrac23\right)\left(\tfrac13\right)^4=\tfrac{1+10}{243}=\tfrac{11}{243}$. Como $b$ tiene que ser $1$, $2$ o $3$, el caso restante es $P(b=2)=1-\tfrac{131}{243}-\tfrac{11}{243}=\tfrac{101}{243}$, y los tres suman $1$ ✓.