En una clase de matemáticas, la mitad de los estudiantes sacó 78 en una prueba de rendimiento. Salvo unos pocos estudiantes que sacaron 55, el resto sacó 74. ¿Qué afirmación sobre la distribución es verdadera?

Step-by-step solution

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   Escribe los conteos de forma simbólica. Para un tamaño de clase par $N$: $\tfrac{N}{2}$ estudiantes sacaron $78$, $k \ge 1$ sacaron $55$ y $\tfrac{N}{2} - k$ sacaron $74$. La respuesta tiene que valer para todo $k$ admisible, así que dejarlo como símbolo es la vía segura.

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   Determina la mediana. Ordenados de menor a mayor, primero vienen los $55$ ($k$ de ellos), después los $74$ ($\tfrac{N}{2} - k$ de ellos) y por último los $78$ ($\tfrac{N}{2}$ de ellos). Las dos posiciones centrales $\tfrac{N}{2}$ y $\tfrac{N}{2}+1$ contienen $74$ y $78$:

   $\text{mediana} = \frac{74 + 78}{2} = 76$

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   Calcula la media.

   $\text{media} = \frac{78\cdot\tfrac{N}{2} + 55k + 74\left(\tfrac{N}{2}-k\right)}{N} = \frac{76N - 19k}{N} = 76 - \frac{19k}{N}$

   Cada estudiante que sacó $55$ en lugar de $74$ le quita $19$ puntos al total, y eso es exactamente el $-19k$ del numerador.

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   Compara. Como $k \ge 1$,

   $\text{media} = 76 - \frac{19k}{N} < 76 = \text{mediana}$

   así que la opción D es la correcta: los valores atípicos bajos mueven la media, pero no la mediana.

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   Descarta las alternativas. B y C contradicen la desigualdad estricta que se acaba de demostrar. A es falsa porque la moda es $78$ (la calificación más frecuente, la de la mitad de la clase) y la media está por debajo de $76 < 78$.

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   Comprobación numérica. $N = 20$, $k = 3$: diez $78$, tres $55$ y siete $74$. Media $= \tfrac{780 + 165 + 518}{20} = 73.15$, mediana $= 76$, moda $= 78$. La fórmula predice $76 - \tfrac{57}{20} = 73.15$ — coincidencia exacta.