En una clase de matemáticas, la mitad de los alumnos sacó 92 en una prueba de rendimiento. Salvo unos pocos alumnos que sacaron 54, los demás sacaron 73. ¿Qué afirmación sobre la distribución es cierta?

Step-by-step solution

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   Introducir los recuentos. Sea $N$ el tamaño (par) de la clase: $\tfrac{N}{2}$ alumnos sacaron $92$, $k \ge 1$ alumnos sacaron $54$ y $\tfrac{N}{2} - k$ sacaron $73$. Tratar «unos pocos» como una incógnita $k$ mantiene válido el argumento sea cual sea la lectura de esa palabra.

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   Hallar la mediana. En orden creciente, los primeros $k$ valores son $54$, los $\tfrac{N}{2} - k$ siguientes son $73$ y los $\tfrac{N}{2}$ últimos son $92$. Por tanto la posición $\tfrac{N}{2}$ contiene $73$ y la posición $\tfrac{N}{2}+1$ contiene $92$, de modo que

   $\text{mediana} = \frac{73 + 92}{2} = 82.5$

   de nuevo con independencia de $k$.

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   Calcular la media.

   $\text{media} = \frac{92\cdot\tfrac{N}{2} + 54k + 73\left(\tfrac{N}{2} - k\right)}{N} = \frac{82.5N - 19k}{N} = 82.5 - \frac{19k}{N}$

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   Comparar las dos. Con $k \ge 1$ la corrección $-\tfrac{19k}{N}$ es estrictamente negativa:

   $\text{media} = 82.5 - \frac{19k}{N} < 82.5 = \text{mediana}$

   La distribución tiene asimetría a la izquierda: una cola pequeña muy por debajo del grueso de los datos tira de la media hacia abajo sin mover la mediana. La opción C es la correcta.

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   Revisar las demás opciones. B es falsa, porque la media está estrictamente por debajo de $82.5$. D invierte la desigualdad. A también es falsa: la moda es $92$ (la mitad de la clase) y la media vale como mucho $82.5$, así que la media es menor que la moda, no mayor.

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   Verificar con números. $N = 20$, $k = 3$: diez notas de $92$, tres de $54$ y siete de $73$ dan una media de $\tfrac{920 + 162 + 511}{20} = 79.65$ frente a una mediana de $82.5$. $N = 100$, $k = 7$: media $81.17$, mediana $82.5$. Ambos casos concuerdan con $82.5 - \tfrac{19k}{N}$.