Quince participantes se pesaron antes y después de un programa de entrenamiento. Antes (kg): 55.60, 56.80, 64.80, 100.50, 72.10, 100.40, 73.80, 77.70, 64.00, 108.60, 76.00, 77.00, 84.75, 67.85, 87.24. Después (kg): 54.20, 55.30, 62.10, 100.30, 71.40, 98.70, 71.10, 73.00, 63.10, 104.80, 72.45, 69.00, 88.78, 70.24, 88.57. Halla la media y la desviación estándar muestral de cada conjunto.

Step-by-step solution

1. 1

   Suma cada columna y divide entre n = 15. Los dos totales son $1167.14$ kg y $1143.04$ kg, así que

   $\bar x_{\text{antes}}=\frac{1167.14}{15}=77.809\ \text{kg},\qquad \bar x_{\text{después}}=\frac{1143.04}{15}=76.203\ \text{kg}$

2. 2

   Elige la fórmula muestral. Estas quince personas son una muestra, así que las desviaciones al cuadrado se dividen entre $n-1=14$:

   $s=\sqrt{\frac{\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}}{n-1}}$

   Dividir entre $n$ subestimaría la dispersión; es el error que más se ve en los informes de tablas como esta.

3. 3

   Calcula la dispersión del grupo de antes. Las desviaciones al cuadrado van desde $(55.60-77.809)^2=493.3$ hasta $(108.60-77.809)^2=948.1$, y suman

   $\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}=3556.77$

   de modo que

   $s_{\text{antes}}=\sqrt{\frac{3556.77}{14}}=\sqrt{254.055}=15.939\ \text{kg}$

4. 4

   Calcula la dispersión del grupo de después. Aquí $\sum\left(x_i-\bar x\right)^{2}=3668.24$, así que

   $s_{\text{después}}=\sqrt{\frac{3668.24}{14}}=\sqrt{262.017}=16.187\ \text{kg}$

5. 5

   Reporta los cuatro números.

   $\boxed{\text{Antes: }\bar x=77.81\ \text{kg},\ s=15.94\ \text{kg};\qquad \text{Después: }\bar x=76.20\ \text{kg},\ s=16.19\ \text{kg}}$

6. 6

   Interpreta, y advierte lo que estos números no pueden mostrar. La media bajó $1.61$ kg mientras que la dispersión subió ligeramente, así que el grupo no se volvió más homogéneo. Y algo esencial: estas son estadísticas descriptivas y nada más; como las mediciones están apareadas (las mismas personas dos veces), decidir si la bajada de $1.61$ kg es estadísticamente significativa exige una prueba $t$ para datos apareados sobre las quince diferencias, no una comparación de estas dos desviaciones estándar.