Se lanza ocho veces un dado equilibrado. Describe el experimento con un espacio de probabilidad y halla la probabilidad de que salga un 6 al menos una vez.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea el espacio de probabilidad. Un resultado registra los ocho lanzamientos en orden, de modo que

   $\Omega=\{1,\ldots,6\}^{8},\qquad |\Omega|=6^{8}=1\,679\,616,$

   con la medida uniforme, ya que el dado es equilibrado y los lanzamientos son independientes.

2. 2

   Convierte «al menos una vez» en su complemento. Contar de cuántas formas salen uno, dos, ... hasta ocho seises obligaría a sumar ocho términos binomiales. El complemento, en cambio, es un solo suceso:

   $P(\text{al menos un }6)=1-P(\text{ningún }6\text{ en absoluto}).$

   «Al menos uno» es casi siempre una señal para pasar al complemento.

3. 3

   Calcula la probabilidad de que no salga ningún seis. Cada lanzamiento individual evita el $6$ con probabilidad $\tfrac56$, y como los lanzamientos son independientes, los ocho lo evitan con probabilidad

   $\left(\frac{5}{6}\right)^{8}=\frac{390\,625}{1\,679\,616}=0.232568.$

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   Resta de 1.

   $P(\text{al menos un }6)=1-\frac{390\,625}{1\,679\,616}=\frac{1\,288\,991}{1\,679\,616}\approx 0.7674.$

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   Comprueba que la respuesta sea plausible. El número esperado de seises es $8\times\tfrac16=1.33$, así que ver al menos uno debería ser probable pero no casi seguro — y $76.7\%$ encaja con eso. Fíjate en que no es $8\times\tfrac16=133\%$; sumar las probabilidades de sucesos que se solapan es el error clásico que este enfoque por el complemento evita.