Sea (X, Y) con densidad conjunta f(x, y) = cx para 0 < x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ x, y 0 en otro caso. Hallar c, las dos densidades marginales y decidir si X e Y son independientes.

Step-by-step solution

1. 1

   Normalizar sobre el soporte triangular. Integrar primero en $y$ es lo más cómodo, porque $x$ es constante en la integral interior:

   $\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{x}cx\,dy\,dx=\int_{0}^{1}cx\cdot x\,dx=c\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{c}{3}=1$

   $c=3$

2. 2

   Hallar la densidad marginal de X. Se fija $x\in(0,1]$ y se integra en $y$ sobre la sección $0\le y\le x$:

   $f_X(x)=\int_{0}^{x}3x\,dy=3x\cdot x=3x^{2},\qquad 0<x\le 1$

3. 3

   Hallar la densidad marginal de Y. Se fija $y\in[0,1]$; el soporte exige $x\ge y$, así que $x$ recorre de $y$ hasta $1$:

   $f_Y(y)=\int_{y}^{1}3x\,dx=\left[\frac{3x^{2}}{2}\right]_{y}^{1}=\frac32\left(1-y^{2}\right),\qquad 0\le y\le 1$

   Acertar con los límites de esta integral — $x$ de $y$ a $1$, y no de $0$ a $1$ — es el punto clave.

4. 4

   Comprobar la independencia multiplicando las marginales.

   $f_X(x)f_Y(y)=3x^{2}\cdot\frac32\left(1-y^{2}\right)=\frac92x^{2}\left(1-y^{2}\right)$

   que no coincide con $f(x,y)=3x$.

5. 5

   Dar la razón estructural decisiva. Incluso antes de comparar fórmulas, el propio soporte lo resuelve: la región $0\le y\le x$ no es un rectángulo, así que el recorrido de $Y$ depende del valor de $X$. La independencia exigiría que el soporte fuera un conjunto producto.

   $\boxed{c=3;\ f_X(x)=3x^{2},\ f_Y(y)=\tfrac32\left(1-y^{2}\right);\ X\text{ e }Y\text{ NO son independientes}}$

6. 6

   Comprobar que ambas marginales integran 1. $\int_{0}^{1}3x^{2}dx=1$ ✓ y $\int_{0}^{1}\tfrac32\left(1-y^{2}\right)dy=\tfrac32\left(1-\tfrac13\right)=1$ ✓, lo que confirma el valor de $c$ y las dos elecciones de límites.