Un intervalo de confianza del 95 por ciento de 14 a 17 significa cuál de estas cosas: que el 95 por ciento de los intervalos calculados como este contendrán la media poblacional, que el 95 por ciento de las veces la media muestral estará entre 14 y 17, que el 95 por ciento de las medias poblacionales están entre 14 y 17, o todas ellas.

Step-by-step solution

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   Recuerda qué es aleatorio y qué es fijo. La media poblacional $\mu$ es una constante fija y desconocida. Lo que varía es el intervalo: si extraes una muestra nueva, obtienes extremos nuevos. Toda interpretación correcta tiene que poner la aleatoriedad en el intervalo, no en $\mu$.

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   Evalúa la primera afirmación. «El 95 % de los intervalos de confianza calculados como este contendrán $\mu$» pone la aleatoriedad en los intervalos y describe el comportamiento a largo plazo del procedimiento. Esa es justamente la definición de un nivel de confianza del $95\%$, de modo que esta afirmación es correcta.

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   Rechaza la afirmación sobre la media muestral. «El $95\%$ de las veces $\bar{X}$ estará entre $14$ y $17$» confunde el intervalo de confianza con un intervalo de predicción para futuras medias muestrales. De hecho, $\bar{X}$ ocupa por construcción el centro de este intervalo concreto; la media de una muestra nueva no tiene garantizada una probabilidad del $95\%$ de caer dentro de estos extremos fijos.

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   Rechaza la afirmación sobre muchas medias poblacionales. «El $95\%$ de las $\mu$ estarán entre $14$ y $17$» es doblemente falsa: solo hay una $\mu$, y no es una cantidad aleatoria. Decir «hay una probabilidad del 95 % de que $\mu$ esté entre 14 y 17» es el mismo error con otro disfraz: una vez recogidos los datos, $\mu$ está o no está en $[14,17]$, y la probabilidad es $0$ o $1$; simplemente no sabemos cuál de las dos.

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   Rechaza «todas las demás respuestas». Como dos de las tres afirmaciones son falsas, esta opción también falla.

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   Enuncia la respuesta. Solo la primera afirmación es correcta: el 95 % de los intervalos de confianza calculados como este contendrán $\mu$. El nivel de confianza es una propiedad del método a lo largo de muestreos repetidos, no del único intervalo que tienes delante.