En un sistema de correo el 20% de todos los mensajes son spam. El 70% de los mensajes de spam contienen la palabra «lotería», mientras que solo el 12.5% de los mensajes legítimos la contienen. Llega un mensaje que contiene la palabra «lotería». ¿Cuál es la probabilidad de que sea spam?

Step-by-step solution

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   Nombra los sucesos y ordena los datos. Sea $G$ = «el mensaje es spam», $N$ = «el mensaje es legítimo» y $L$ = «el mensaje contiene la palabra lotería». Los datos son

   $P(G)=0.2,\qquad P(N)=0.8$
   $P(L\mid G)=0.7,\qquad P(L\mid N)=0.125$

   Fíjate en la dirección: te dan la probabilidad de la palabra dada la clase, pero te piden la clase dada la palabra. Invertir una probabilidad condicionada es exactamente para lo que sirve el teorema de Bayes.

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   Escribe el teorema de Bayes para la cantidad que se pide.

   $P(G\mid L)=\frac{P(L\mid G)\,P(G)}{P(L)}$

   El numerador es la probabilidad de ser spam y contener la palabra; el denominador es la probabilidad de contener la palabra, sin más, en todo el flujo de correo.

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   Obtén el denominador con el teorema de la probabilidad total. Todo mensaje es spam o legítimo, así que esos dos casos forman una partición del espacio muestral:

   $P(L)=P(L\mid G)P(G)+P(L\mid N)P(N)=0.7\times 0.2+0.125\times 0.8$
   $P(L)=0.14+0.10=0.24$

   Así que aproximadamente uno de cada cuatro mensajes contiene la palabra, y la mayor parte de esa masa proviene del conjunto mucho más grande de correo legítimo.

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   Sustituye y simplifica hasta una fracción exacta.

   $P(G\mid L)=\frac{0.14}{0.24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\approx 0.5833$

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   Interpreta el resultado y comprueba su coherencia. Ver la palabra eleva la probabilidad de spam desde el $20\%$ previo hasta cerca del $58.3\%$: es una evidencia fuerte, pero todavía lejos de la certeza, porque el correo legítimo es cuatro veces más frecuente de partida. Una comprobación cruzada útil: de $1000$ mensajes hipotéticos, $200$ son spam y $140$ de ellos contienen la palabra, mientras que $800$ son legítimos y $100$ de ellos la contienen. De los $240$ mensajes marcados, $140$ son spam: $140/240=7/12$, lo que coincide con la fórmula.