Una caja contiene 6 bolas rojas y 6 bolas azules. Se sacan seis bolas al azar sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una sea azul?

Step-by-step solution

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   Pásate de inmediato al complemento. «Al menos una azul» exigiría los casos de exactamente $1,2,3,4,5,6$ azules: seis conteos por separado. Su complemento es un único caso: cero azules. Así que conviene usar

   $P(\text{al menos una azul})=1-P(\text{ninguna azul})$

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   Cuenta el espacio muestral. Hay $6+6=12$ bolas y el orden no importa, así que el número de selecciones posibles de seis bolas es

   $\binom{12}{6}=\frac{12!}{6!\,6!}=924$

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   Cuenta los casos favorables al complemento. «Ninguna azul» significa que las seis bolas extraídas son rojas, y hay exactamente $6$ bolas rojas, así que la única manera es llevarse todas las rojas:

   $\binom{6}{6}=1$

   Por eso la respuesta sale tan cerca de $1$: hay una sola selección desfavorable entre $924$.

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   Arma la probabilidad.

   $P(\text{ninguna azul})=\frac{1}{924},\qquad P(\text{al menos una azul})=1-\frac{1}{924}=\frac{923}{924}$

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   Pásalo a decimal y revisa que sea razonable. $\dfrac{923}{924}=0.998918\ldots\approx99.89\%$. Es creíble: sacar la mitad de la caja y de algún modo esquivar las seis bolas azules exige justo esa única extracción perfecta de puras rojas, así que la casi certeza es exactamente lo que cabe esperar ✓.

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   Verifica por suma directa. Sumando las probabilidades hipergeométricas de $1$ a $6$ azules se obtiene $\frac{36+225+400+225+36+1}{924}=\frac{923}{924}$, que coincide con el resultado por complemento ✓.