Una muestra de n = 278 observaciones tiene media muestral 8.83 y desviación estándar muestral 41.40. Construye un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

Step-by-step solution

1. 1

   Elige la fórmula de intervalo correcta. La desviación estándar poblacional $\sigma$ es desconocida y se ha estimado a partir de la muestra, así que la construcción correcta es el intervalo $t$

   $\bar x\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt n}$

   con $n-1=277$ grados de libertad. Con $n=278$ la muestra es lo bastante grande para que el teorema central del límite haga válido el intervalo incluso si los datos de fondo no son normales, lo cual importa aquí porque $s=41.40$ es casi cinco veces la media, un indicio claro de una variable muy asimétrica.

2. 2

   Calcula el error estándar de la media. Mide cuánto oscilaría $\bar x$ de una muestra a otra:

   $SE=\frac{s}{\sqrt n}=\frac{41.40}{\sqrt{278}}=\frac{41.40}{16.6733}=2.4830$

   El $\sqrt n$ del denominador es la razón por la que ayuda tener una muestra grande: la dispersión bruta de $41.40$ queda dividida por un factor de casi $17$.

3. 3

   Busca el valor crítico para una confianza del $95\%$. Para el $95\%$ de confianza, $\alpha=0.05$ y cada cola se lleva $0.025$. Con $df=277$,

   $t_{0.025,\,277}=1.9686$

   Es apenas un pelo por encima del valor normal $z_{0.025}=1.9600$, porque una distribución $t$ con cientos de grados de libertad es casi indistinguible de la normal estándar. Usar $z$ aquí es un atajo defendible, pero $t$ es la elección técnicamente correcta siempre que $\sigma$ se haya estimado.

4. 4

   Multiplica para obtener el margen de error.

   $ME=t\cdot SE=1.9686\times2.4830=4.8880$

   Redondea solo al final; redondear antes $SE$ a $2.48$ desplazaría los extremos en la tercera cifra decimal.

5. 5

   Arma el intervalo.

   $\bar x\pm ME=8.83\pm4.888\;\Longrightarrow\;(8.83-4.888,\;8.83+4.888)=(3.942,\;13.718)$

   Expresado con dos decimales, el intervalo de confianza del $95\%$ para $\mu$ es $(3.94,\;13.72)$. Como comparación, el intervalo basado en $z$ sería $(3.96,\;13.70)$: el mismo salvo centésimas, como cabe esperar con este tamaño de muestra.

6. 6

   Interprétalo correctamente. La afirmación es sobre el procedimiento, no sobre este intervalo concreto: si se repitiera el muestreo muchas veces, el $95\%$ de los intervalos construidos así contendría la media verdadera $\mu$. No es correcto decir que el $95\%$ de los datos individuales cae en $(3.94,13.72)$: la dispersión de los datos la gobierna $s=41.40$, unas diecisiete veces más ancha que este intervalo, que describe solo la incertidumbre de la media.