Un mazo de 60 cartas contiene 11 cartas marcadas. Se sacan cinco cartas como mano inicial y se apartan sin mirarlas. Después se sacan al azar tres cartas más de las 55 restantes. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de esas tres cartas esté marcada?

Step-by-step solution

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   Resuelve primero lo de la mano inicial — es el meollo del problema. Resulta tentador condicionar según cuántas cartas marcadas cayeron en las primeras cinco. Pero no se observó nada y el mazo se barajó de manera uniforme, así que las ocho cartas sacadas en total (cinco y luego tres) no son más que una muestra ordenada uniformemente al azar de ocho cartas. Por intercambiabilidad, las posiciones 6, 7 y 8 tienen la misma probabilidad de ser cualquier terna dada que las posiciones 1, 2 y 3.

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   Redúcelo a una extracción simple de 3 cartas. La pregunta se convierte entonces en:

   $P(\text{al menos una marcada entre 3 cartas sacadas de las }60)$

   con $11$ cartas marcadas y $60-11=49$ sin marcar.

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   Usa el complemento. «Al menos una» es una unión de sucesos que se solapan, así que en su lugar se cuenta el único complemento fácil:

   $P(\text{al menos una})=1-P(\text{ninguna marcada})=1-\frac{\binom{49}{3}}{\binom{60}{3}}$

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   Calcula los dos coeficientes binomiales.

   $\binom{49}{3}=\frac{49\cdot 48\cdot 47}{6}=18424,\qquad \binom{60}{3}=\frac{60\cdot 59\cdot 58}{6}=34220$

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   Resta.

   $P=1-\frac{18424}{34220}=\frac{34220-18424}{34220}=\frac{15796}{34220}$

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   Conviértelo a porcentaje.

   $\frac{15796}{34220}=0.461601\ldots\approx 46.2\%$

   Comprobación del paso de intercambiabilidad: la respuesta no depende en absoluto del tamaño de la mano inicial — sacar $0$, $5$ o $20$ cartas primero y luego $3$ da el mismo $46.16\%$, siempre que ninguna de ellas se revele.