El 66 por ciento de los adultos de EE. UU. tiene muy poca confianza en los periódicos. Se eligen diez adultos al azar. Halla la probabilidad de que el número de ellos con muy poca confianza sea (a) exactamente cinco, (b) al menos seis y (c) menos de cuatro.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba que se aplica el modelo binomial. Hay $n=10$ selecciones independientes, cada una con dos resultados posibles ('tiene muy poca confianza' o no), con probabilidad constante $p=0.66$. Por tanto $X\sim B(10,0.66)$ y

   $P(X=k)=\binom{10}{k}(0.66)^{k}(0.34)^{10-k}.$

2. 2

   Apartado (a): exactamente cinco.

   $P(5)=\binom{10}{5}(0.66)^{5}(0.34)^{5}=252(0.12523)(0.00454)=0.143.$

3. 3

   Apartado (b): al menos seis. Suma los términos desde $k=6$ hasta $k=10$:

   $P(X\ge 6)=0.23195+0.25729+0.18729+0.08079+0.01568=0.773.$

   Es la cola más grande porque la media $np=6.6$ cae dentro de ella.

4. 4

   Apartado (c): decide si conviene usar el complementario. 'Menos de cuatro' significa $k=0,1,2,3$, es decir cuatro términos. El complementario $P(X\ge 4)$ exigiría siete términos, así que aquí la suma directa es el camino más corto. El complementario solo es un atajo cuando el suceso que quieres tiene más casos que el que no quieres.

5. 5

   Calcula los cuatro términos.

   $P(0)=(0.34)^{10}=0.0000206,\qquad P(1)=10(0.66)(0.34)^{9}=0.0004007,$
   $P(2)=45(0.66)^{2}(0.34)^{8}=0.0035005,\qquad P(3)=120(0.66)^{3}(0.34)^{7}=0.0181203.$

6. 6

   Suma y redondea.

   $P(X<4)=0.0000206+0.0004007+0.0035005+0.0181203=0.02204\approx 0.022.$

   Es un valor pequeño, como cabía esperar: con una media de $6.6$ éxitos, observar tres o menos queda bien adentro de la cola inferior.